Question

已知函数f(x)=4倍的x平方减4ax加a的平方减2a加2在区间[0,2]上有最小值3求a的

Answer 1

f(x)=4x²-4ax+a²-2a+2
=4(x-a/2)²-2a+2.
开口向上，对称轴x=a/2，
且x∈[0，2].

a/2>2，即a>4时，
对称轴位于区间右侧，
此时函数单调递减，
∴f(x)|min=f(2)=a²-10a+18=3，
解得，a=5+√10或a=5-√10(舍).

0<a/2≤2，即0<a≤4时，
对称轴位于区间内，
最小值在图象最低点(顶点)取得，
∴f(x)|min=f(a/2)=-2a+2=3，
即a=-1/2(与0<a≤4矛盾，舍).

a/2≤0，即a≤0时，
对称轴位于区间左侧，
此时函数单调递增，
∴f(x)|min=f(0)=a²-2a+2=3，
即a=1-√2，或a=1+√2(与a≤0矛盾，舍).

综上所述，a=5+√10或a=1-√2。