Question

已知abc属于R,求证(b+c-a)/a+(c+a-b)/b+(a+b-c)/c>=3

Answer 1

已知a,b,c,为实数,求证(b+c-a)/a+(c+a-b)/b+(a+b-c)/c≥3
解法一:使用：(a+b+c)(x+y+z)≥(ax+by+cz)^2,等式只在a/x=b/y=c/z时成立。
则（b+c-a）/a+（c+a-b）/b+（a+b-c）/c=（a+b+c）(1/a+1/b+1/c)-6
≥(1+1+1)^2-6=3，等式只在a^2=b^2=c^2时成立。
即：（b+c-a）/a+（c+a-b）/b+（a+b-c）/c≥3

解法二:
如果x,y均＞0，则(x/y)+(y/x)=(x^2+y^2)/(xy)≥(2xy)/(xy)＝2
（b+c-a）/a+（c+a-b）/b+（a+b-c）/c
＝(b/a)+(c/a)-1+(c/b)+(a/b)-1+(a/c)+(b/c)-1
＝[(b/a)+(a/b)]+[(c/a)+(a/c)]+[(c/b)+(b/c)]-3
≥2+2+2-3
＝3
即：（b+c-a）/a+（c+a-b）/b+（a+b-c）/c≥3