Question

什么是严格单调函数和单调函数有什么区别

Answer 1

增函数和减函数统称为单调函数，严格增函数和严格减函数统称为严格单调函数。和单调函数区别如下：

1、含义不同

严格单调函数就是不能包含端点。单调函数是指， 对于整个定义域而言，函数具有单调性。而不是针对定义域的子区间而言。

2、定义域不同

严格单调函数其定义域的两端只能是＞号或者＜号，而单调函数在端点处则可取等号，比如一个开口向下的二次函数在对称轴的左边单增右边单减，但是在对称轴的地方本来等号两者皆可取，但是是严格单调的。

函数概念：

在一个变化过程中，发生变化的量叫变量（数学中，变量为x，而y则随x值的变化而变化），有些数值是不随变量而改变的，我们称它们为常量。

自变量（函数）：一个与它量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。

因变量（函数）：随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量（函数）有且只有唯一值与其相对应。

函数值：在y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，当x取a时，y就随之确定为b，b就叫做a的函数值。

Answer 2

感觉最高赞的回答有些废话：

一、严格定义：

假定f(x)的定义域为D，那么对于任意a,b∈D，当a<b时。

f(a) < f(b)，函数严格单调递增；

f(a) > f(b)，函数严格单调递减；

f(a) ≤ f(b)，函数单调递增；

f(a) ≥ f(b)，函数单调递减。

二、通俗理解：

另外，对于任意一条水平直线y=a(a∈R)，这条直线若与单调函数f(x)至多有一个交点，那么也可以称这个函数为严格单调函数。

三、普遍范例：

我们便可以引申出来了，对于一些常见函数：

1）y=x² (x≥0)

对于任何x1 < x2（x1,x2∈[0,+∞)），都显然有x1²＜x2²。那么我们称函数严格单调。

从分析的角度：注意到y'=2x ≥ 0，且y'=0仅在孤立点x=0处成立，故而函数严格单调。

2）y=x³

对于任何x1 < x2（x1,x2∈R），都显然有x1³＜x2³。严格单调。

且注意到y'=3x ≥ 0，且y'=0仅在孤立点x=0处成立，故而函数严格单调。

3）y=C（常函数）

对于任何x1 < x2（x1,x2∈R），都显然有y1=y2，故函数处处单调，但处处不严格单调。

4）y=(-x)^(-1)（x＞0）

对于任何x1 < x2（x1,x2∈[0,+∞)），都显然有(-x1)^(-1)＜(-x2)^(-1)。严格单调。

且注意到y'=x^(-2) ＞ 0，故而函数严格单调。

常见严格单调递增函数（网页链接）

Answer 3

严格单调函数和单调函数都是描述函数在定义域上的性质，它们的区别在于是否包含等号。
1. 严格单调函数：如果一个函数在其定义域上满足对于任意的两个不同的自变量值，函数值的大小关系保持一致，那么这个函数被称为严格单调函数。具体地说，如果对于定义域上的任意两个不同的自变量值x1和x2，有f(x1) < f(x2)成立（或f(x1) > f(x2)成立），那么函数f(x)是严格单调递增的（或严格单调递减的）。
2. 单调函数：如果一个函数在其定义域上满足对于任意的两个不同的自变量值，函数值的大小关系保持不变或者只有一个方向的变化，那么这个函数被称为单调函数。具体地说，如果对于定义域上的任意两个不同的自变量值x1和x2，有f(x1) ≤ f(x2)成立（或f(x1) ≥ f(x2)成立），那么函数f(x)是单调递增的（或单调递减的）。
总结来说，严格单调函数要求函数值在不同自变量值之间严格保持大小关系，不包含相等情况；而单调函数可以包含相等情况，即函数值可以相等，但是大小关系保持一致。

Answer 4

我想：
严格单调函数的几何意义：其图象无自交点或无平行于x轴的部分。更准确地讲：严格单调函数的图象与任一平行于x轴（包括重合）的直线至多有一个交点。这一特征保证了它必有反函数。
如：f(x)=a·x奇数次方+b , a≠0 即 f(x)=ax^(2k+1)+b , a≠0, k∈Z
单调函数：包括 严格单调 和 定义域不同区间上的增、减函数。
如：f(x)=f(x)=a·x偶数次方+b , a≠0 即 f(x)=ax^(2k)+b , a≠0, k∈Z

Answer 5

单调函数是指在定义域内，随着自变量的增加，函数值的大小始终保持同增或者同减的关系。如果函数在定义域内任意两个不同的自变量对应的函数值满足f(x₁) < f(x₂) ，那么该函数就是严格递增函数；如果满足f(x₁) ≤ f(x₂)，那么该函数就是非严格递增函数。
换句话说，严格递增函数在定义域内，自变量的增加必然伴随着函数值的严格增加，即函数的图像是严格上升的；而非严格递增函数在定义域内，自变量的增加可能伴随着函数值的不变。同样，严格递减函数和非严格递减函数的定义也类似。
严格单调函数是指在定义域内，函数值的大小关系始终保持严格单调递增或严格单调递减的函数。也就是说，对于严格单调递增函数，任意两个不同的自变量对应的函数值满足f(x₁) < f(x₂)；对于严格单调递减函数，任意两个不同的自变量对应的函数值满足f(x₁) > f(x₂)。
可以看出，区别在于严格单调函数强调了函数值的比较关系是严格递增或严格递减的。当函数是严格单调递增或严格单调递减时，不仅自变量的增加对应着函数值的增加或减少，而且增量是严格的，函数的图像没有平的部分，也没有水平的部分。
总结一下，单调函数是指函数值的大小关系要么递增要么递减，可以是严格递增/减的，也可以是非严格递增/减的；而严格单调函数是指函数值的大小关系要么严格递增要么严格递减