Question

f(x)=e^mx-1-lnx 求m最小值

Answer 1

（1）当m=2时，f（x）=lnx-2x-1x（x∈（0，+∞））因此f（1）=-3，f′（x）=1x-2+1x2，切线斜率k=f′（1）=0所以切线方程为y=-3（2）f′（x）=1x-m+m?1x2=?mx2+x+m?1x2令h（x）=-mx2+x+m-1（x∈（0，+∞））当m=0时，h（x）=x-1，令h（x）＞0，x＞1，h（x）＜0，0＜x＜1∴f（x）在（0，1）上是减函数，f（x）在（1，+∞）上是增函数当m≠0时，h（x）=-m（x-1）[x-（1m-1）]，当m＜0时，1m-1＜0＜1，f（x）在（0，1）上是减函数，f（x）在（1，+∞）上是增函数0＜m≤14时，0＜1＜1m-1，f（x）在（0，1），（1m-1，+∞）上是减函数，f（x）在（1，1m-1）上是增函数（3）当m＝112时，f（x）在（0，1）上是减函数，f（x）在（1，2）上是增函数∴对任意x1∈（0，2），f（x1）≥f（1）=56又已知存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），所以g（x2）≤56，x2∈[1，2]，即存在x2∈[1，2]使g（x）=x2-2x+n≤56 即n-1≤56解得n≤116