Question

z为复数，cos(z)=0，证明z=(n+0.5)π

z为复数，cos(z)=0，证明z=(n+0.5)π

Answer 1

证明：设z=cosθ+isinθ=e^(iθ)，则∑z^k=∑e^(ikθ)=[1-e^(inθ+iθ)]/[1-e^(iθ)]=(1+cosθ+cos2θ+cos3θ+···+cosnθ)+i(1+sinθ+sin2θ+sin3θ+···+sinnθ)(k=0,1,2,……,n)。而[1-e^(inθ+iθ)]/(1-e^(iθ))=[1-e^(inθ+iθ)][1-e^(-iθ)]/{[1-e^(iθ)][1-e^(-iθ)]}=[1-e^(-iθ)-e^(inθ+iθ)+e^(inθ)]/(2-2cosθ)，比较实部、虚部，可得(1+cosθ+cos2θ+cos3θ+···+cosnθ)=[1-cosθ-cos(n+1)θ+cosnθ]/(2-2cosθ)=1/2+[sin(n+1/2)θ/2]/sin(θ/2)。供参考

Answer 2

复数的开方
若z^n=r(cosθ+isinθ），则n√r[cos(2kπ+θ）/n+isin(2kπ+θ）/n]（k=0，1，2，3……n-1）
俯发碘菏鄢孤碉酞冬喀其中n√r
是连在一起的，指对r开n次方根。回复