Question

求解： 如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点，其顶点为D

如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点，其顶点为D，连接BD，点P是线段BD上一个动点(不与B、D重合)，过点P作y轴的垂线，垂足为E，连接BE.
(1)求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；
(2)如果P点的坐标为(x,y)，△PBE的面积为S，求S与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；
(3)在(2)的条件下，当S取得最大值时，过点P作x的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为P′，请直接写出P′点坐标，并判断点P′是否在该抛物线上.

Answer 1

ABC三点坐标代入求得解析式y=-x*2+2x+3点D坐标为（1,4）
根据三角形面积可以等于水平宽与铅垂高乘积一半
求出直线BE解析式 点P纵坐标减去点P到直线BE的距离为铅垂高 点B的横坐标为水平宽
计算配方得S三角形PBE=-（x-3/2)*2+9/4 x大于1小于3 面积最大值为9/4
此时P坐标为（3/2,3）点P'坐标为（m,n）求出直线EF的解析式
因为EF必然垂直平分PP'所以PP'的中点在EF上 两直线垂直比例系数乘积为-1
根据这两个条件联立方程组
{（3/2+m)/2}（-2）+3=（3+n)/2 解得n=-2m
设PP'解析式 k=1/2代入 求得P'的坐标为（-9/10,9/5）

思路就是这样的 计算可能会有点瑕疵...本人计算能力比较有限 你再算下吧 如果看卜懂再说吧...

Answer 2

解：（1）∵y=ax2+bx+c过C（0， 3 ），
∴y=ax2+bx+ 3
又y=ax2+bx+c过点A（-3，0）B（1，0），
∴ 0=9a-3b+ 3 0=a+b+ 3
∴ a=- 3 3 b=-2 3 3 ，
∴此抛物线的解析式为y=- 3 3 x2-2 3 3 x+ 3 ．

（2）①△ABC绕AB的中点M旋转180度．可知点E和点C关于点M对称，
∴M（-1，0），C（0， 3 ），
∴E（-2，- 3 ）．
②四边形AEBC是矩形．
∵△ABC绕AB的中点M旋转180°得到四边形AEBC，
∴△ABC≌△AEB
∴AC=EB，AE=BC，
∴AEBC是平行四边形在Rt△ACO中，OC= 3 ，OA=3，
∴∠CAB=30°
∵AEBC是平行四边形
∴AC∥BE，
∴∠ABE=30°在Rt△COB中
∵OC= 3 ，OB=1，
∴∠CBO=60°，
∴∠CBE=∠CBO+∠ABE=60°+30°=90°ABEC是矩形．

（3）假设在直线BC上存在一点P，使△PAD的周长最小．
因为AD为定值，所以使△PAD的周长最小，就是PA+PD最小；
∵AEBC是矩形，
∴∠ACB=90°，
∴A（-3，0）关于点C（0， 3 ）的对称点A1（3，2 3 ）．
点A与点A1也关于直线BC对称．
连接A1D，与直线BC相交于点P，连接PA，则△PAD的周长最小．
∵B（1，0）、C（0， 3 ）
∴BC的解析式为y=- 3 x+ 3
∵A1（3，2 3 ）、D（-1，4 3 3 ）
∴A1D的解析式为y= 3 6 x+3 3 2 ．
∴ y=- 3 x+ 3 y= 3 6 x+3 3 2 ，
∴ x=-3 7 y=10 3 7 ，
∴P的坐标为（-3 7 ，10 3 7 ）．