求解: 如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点,其顶点为D
如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点,其顶点为D,连接BD,点P是线段BD上一个动点(不与...
如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点,其顶点为D,连接BD,点P是线段BD上一个动点(不与B、D重合),过点P作y轴的垂线,垂足为E,连接BE.
(1)求抛物线的解析式,并写出顶点D的坐标;
(2)如果P点的坐标为(x,y),△PBE的面积为S,求S与x的函数关系式,写出自变量x的取值范围,并求出S的最大值;
(3)在(2)的条件下,当S取得最大值时,过点P作x的垂线,垂足为F,连接EF,把△PEF沿直线EF折叠,点P的对应点为P′,请直接写出P′点坐标,并判断点P′是否在该抛物线上. 展开
(1)求抛物线的解析式,并写出顶点D的坐标;
(2)如果P点的坐标为(x,y),△PBE的面积为S,求S与x的函数关系式,写出自变量x的取值范围,并求出S的最大值;
(3)在(2)的条件下,当S取得最大值时,过点P作x的垂线,垂足为F,连接EF,把△PEF沿直线EF折叠,点P的对应点为P′,请直接写出P′点坐标,并判断点P′是否在该抛物线上. 展开
2个回答
2011-02-19
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ABC三点坐标代入求得解析式y=-x*2+2x+3点D坐标为(1,4)
根据三角形面积可以等于水平宽与铅垂高乘积一半
求出直线BE解析式 点P纵坐标减去点P到直线BE的距离为铅垂高 点B的横坐标为水平宽
计算配方得S三角形PBE=-(x-3/2)*2+9/4 x大于1小于3 面积最大值为9/4
此时P坐标为(3/2,3)点P'坐标为(m,n)求出直线EF的解析式
因为EF必然垂直平分PP'所以PP'的中点在EF上 两直线垂直比例系数乘积为-1
根据这两个条件联立方程组
{(3/2+m)/2}(-2)+3=(3+n)/2 解得n=-2m
设PP'解析式 k=1/2代入 求得P'的坐标为(-9/10,9/5)
思路就是这样的 计算可能会有点瑕疵...本人计算能力比较有限 你再算下吧 如果看卜懂再说吧...
根据三角形面积可以等于水平宽与铅垂高乘积一半
求出直线BE解析式 点P纵坐标减去点P到直线BE的距离为铅垂高 点B的横坐标为水平宽
计算配方得S三角形PBE=-(x-3/2)*2+9/4 x大于1小于3 面积最大值为9/4
此时P坐标为(3/2,3)点P'坐标为(m,n)求出直线EF的解析式
因为EF必然垂直平分PP'所以PP'的中点在EF上 两直线垂直比例系数乘积为-1
根据这两个条件联立方程组
{(3/2+m)/2}(-2)+3=(3+n)/2 解得n=-2m
设PP'解析式 k=1/2代入 求得P'的坐标为(-9/10,9/5)
思路就是这样的 计算可能会有点瑕疵...本人计算能力比较有限 你再算下吧 如果看卜懂再说吧...
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解:(1)∵y=ax2+bx+c过C(0, 3 ),
∴y=ax2+bx+ 3
又y=ax2+bx+c过点A(-3,0)B(1,0),
∴ 0=9a-3b+ 3 0=a+b+ 3
∴ a=- 3 3 b=-2 3 3 ,
∴此抛物线的解析式为y=- 3 3 x2-2 3 3 x+ 3 .
(2)①△ABC绕AB的中点M旋转180度.可知点E和点C关于点M对称,
∴M(-1,0),C(0, 3 ),
∴E(-2,- 3 ).
②四边形AEBC是矩形.
∵△ABC绕AB的中点M旋转180°得到四边形AEBC,
∴△ABC≌△AEB
∴AC=EB,AE=BC,
∴AEBC是平行四边形在Rt△ACO中,OC= 3 ,OA=3,
∴∠CAB=30°
∵AEBC是平行四边形
∴AC∥BE,
∴∠ABE=30°在Rt△COB中
∵OC= 3 ,OB=1,
∴∠CBO=60°,
∴∠CBE=∠CBO+∠ABE=60°+30°=90°ABEC是矩形.
(3)假设在直线BC上存在一点P,使△PAD的周长最小.
因为AD为定值,所以使△PAD的周长最小,就是PA+PD最小;
∵AEBC是矩形,
∴∠ACB=90°,
∴A(-3,0)关于点C(0, 3 )的对称点A1(3,2 3 ).
点A与点A1也关于直线BC对称.
连接A1D,与直线BC相交于点P,连接PA,则△PAD的周长最小.
∵B(1,0)、C(0, 3 )
∴BC的解析式为y=- 3 x+ 3
∵A1(3,2 3 )、D(-1,4 3 3 )
∴A1D的解析式为y= 3 6 x+3 3 2 .
∴ y=- 3 x+ 3 y= 3 6 x+3 3 2 ,
∴ x=-3 7 y=10 3 7 ,
∴P的坐标为(-3 7 ,10 3 7 ).
∴y=ax2+bx+ 3
又y=ax2+bx+c过点A(-3,0)B(1,0),
∴ 0=9a-3b+ 3 0=a+b+ 3
∴ a=- 3 3 b=-2 3 3 ,
∴此抛物线的解析式为y=- 3 3 x2-2 3 3 x+ 3 .
(2)①△ABC绕AB的中点M旋转180度.可知点E和点C关于点M对称,
∴M(-1,0),C(0, 3 ),
∴E(-2,- 3 ).
②四边形AEBC是矩形.
∵△ABC绕AB的中点M旋转180°得到四边形AEBC,
∴△ABC≌△AEB
∴AC=EB,AE=BC,
∴AEBC是平行四边形在Rt△ACO中,OC= 3 ,OA=3,
∴∠CAB=30°
∵AEBC是平行四边形
∴AC∥BE,
∴∠ABE=30°在Rt△COB中
∵OC= 3 ,OB=1,
∴∠CBO=60°,
∴∠CBE=∠CBO+∠ABE=60°+30°=90°ABEC是矩形.
(3)假设在直线BC上存在一点P,使△PAD的周长最小.
因为AD为定值,所以使△PAD的周长最小,就是PA+PD最小;
∵AEBC是矩形,
∴∠ACB=90°,
∴A(-3,0)关于点C(0, 3 )的对称点A1(3,2 3 ).
点A与点A1也关于直线BC对称.
连接A1D,与直线BC相交于点P,连接PA,则△PAD的周长最小.
∵B(1,0)、C(0, 3 )
∴BC的解析式为y=- 3 x+ 3
∵A1(3,2 3 )、D(-1,4 3 3 )
∴A1D的解析式为y= 3 6 x+3 3 2 .
∴ y=- 3 x+ 3 y= 3 6 x+3 3 2 ,
∴ x=-3 7 y=10 3 7 ,
∴P的坐标为(-3 7 ,10 3 7 ).
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