Question

数学难题啊！！！~~~~急急急急！！！

已知：如图，直线y=-根号3x+4倍根号3与x周相交于点A，与直线y=根号3相交于点P
1.求点P坐标
2.请判断△OPA的形状并说明理由
3.懂点E从原点O出发，以每秒1各单位的速度沿着O——P——A的路线向点A迅速运动（E不与OD重合），过点E分别作EF⊥x轴与F，EB⊥y轴于B。设运动t秒后，矩形EBOF与△OPA重叠部分的面积为S
求S与t之间的函数关系
2.当t为何值时，S最大，并求S的最大值

Answer 1

1

y=-根号3x+4根号3
y=根号3 x
解联立方程得：x=2，y=2根号3
故P点坐标（2，2根号3）

2

y=-根号3x+4根号3
令y=0，-根号3x+4根号3=0
解得x=4
故A点坐标（4,0）
PO=根号[(2-0)^2+(2根号3)^2]=4
PA=根号[(2-4)^2+(2根号3)^2]=4
PO=PA=OA=4，等边三角形

3

∠POA=∠PAO=arc tan 根号3 = π/3
t∈（0，4]时，E在OP上：
OE=t
BE=OEcosπ/3=1/2 t
EF=OEsinπ/3=根号3/2 t
矩形EBOF与△OPA重叠部分的面积：
S=SEBOF-S△OPA
=BE * EF - 1/2* BE*EF
=1/2*BE*EF=1/2*1/2t*根号3/2t=根号3/8 t^2

t∈[4，8）时，E在PA上：
PE=t-4
BE=xP+PEcosπ/2=2+1/2(t-4)=1/2t
EF=yP-PEsinπ/3=2根号3 - 根号3/2 *(t-4)=根号3/2(-t+8)
BE’=xP-PEcosπ/6=2-1/2(t-4)=1/2(-t+8)
S=SEBOF-S△OPA
=BE*EF-1/2*BE'*EF
=EF(BE-1/2BE')
=根号3/2(-t+8)*[(1/2t-1/2(-t+8)]
=根号3/2(-t+8)(t-4)
=-根号3/2(t^2-12t+32)

即分段函数：
S=根号3/8 t^2 【t∈（0，4]】
S=-根号3/2(t^2-12t+32) 【t∈[4，8）】

4

t∈（0，4] 时：
S=根号3/8 t^2 开口向上，对称轴t=0，在区间（0，4）单调增
t=4时，区间内最大值Smax1=根号3/8*4^2=2根号3
t∈[4，8）时：
S=-根号3/2(t^2-12t+32) ，开口相下，对称轴t=6，
在区间[4，8）x=6时，极大值就是最大值
Smax2=-根号3/2(6^2-12*6+32)=2根号3

∴t=4，或t=6时，S最大，最大值为2根号3

Answer 2

楼主同学~~【直线y=-根号3x+4倍根号3与x周相交于点A，与直线y=根号3相交于点P】介个。能写成只有数字和符号的样子么~~