Question

高数题求解设f（x）连续，且f（x）∫（0，x）f（t）dt=arctan√x/√x（1-x）（x>0），求f（x）

设f（x）连续，且f（x）∫（0，x）f（t）dt=arctan√x/√x（1-x）（x>0），求f（x）

Answer 1

解答：
已知f（x）＝√x(x-a)可知
f（x）的导数f‘(x)=(2x-a)/2√x(x-a),
令f（x）的导数f‘(x)=(2x-a)/2√x(x-a)=0，
可知x=a/2,且x≠a，x≠0.
当a>0时，f（x）的定义域为x≥a∪x≤0
x∈（-∞，0]单调递减
x∈[a，+∞）单调递增。
当a＜0时,f（x）的定义域为x≤a,x≥0
x∈（-∞，a]单调递减
x∈[0,+∞)单调递增。
当a=0时，f(x)=0;
A、g(a)为f(x)在区间〖0，2〗上的最小值
可知a≥0，由上述的单调区间可知f(x)在x∈[a，+∞）单调递增
即(x)在x∈[0，2]单调递增
可知g(a)=f(0)=0。
2、对f(x)求导，得lnx+1=0
令导数为零，x=e^(-1)
x大于e^(-1)为增函数，小于e^(-1)为减函数
下面对t进行讨论
当t大于e^(-1)，f（t+2）最大
当t+2小于e^(-1)，f（t）最大
当e^(-1)在t和t+2之间时，比较f(t)和f(t+2)