Question

已知以F为焦点的抛物线y^2=4x上的两点A.B满足向量AF=向量3FB，则弦AB的中点到准线的距离是？

Answer 1

设抛物线的准线为l:x=-1. 设|FB|=m,则|FA|=3m.
过A、B两点向准线l作垂线AC、BD,,
由抛物线定义知：|AC|=|FA|=3m, |BD|=|FB|=m,
过B作BE⊥AC,E为垂足。
|AE|=|AC|-|CE|=|AC|-|BD|=3m-m=2m.
|AB|=|FA|+|FB|=4m.
在直角三角形AEB中，|BE|=√(|AB|²-|AE|²)=2√3m,
tan∠BAE=|BE|/|AE|=√3,
直线的斜率k= tan∠AFx= tan∠BAE=√3.

焦点F坐标为(1,0),
直线方程为y=√3(x-1).与抛物线方程y²=4x联立并消去y得：
3x²-10x+3=0,x=3或1/3.
所以弦AB的中点的横坐标为（3+1/3）/2=5/3.
准线为l:x=-1.
所以弦AB的中点到准线的距离为5/3+1=8/3.

Answer 2

∵A、B都在抛物线y^2＝4x上，∴可设A、B的坐标分别是（m，m^2/4），（n，n^2/4）。
显然由抛物线方程，可知：抛物线的焦点为F（1，0），准线为x＝－1。

∵向量AF＝3向量FB，∴A、F、B三点共线，∴BF的斜率＝AF的斜率，
∴（n^2/4－0）/（n－1）＝（m^2/4－0）/（m－1），　∴mn^2－n^2＝nm^2－m^2，
∴nm^2－mn^2＝m^2－n^2，　∴mn（m－n）＝（m＋n）（m－n）。
显然m、n不等，否则AB⊥x轴，得：F为AB的中点，这与 向量AF＝3向量FB 矛盾。
∴mn＝m＋n。

由抛物线定义，有：｜BF｜＝n＋1，　｜AF｜＝m＋1，　结合向量AF＝3向量FB，得：
m＋1＝3（n＋1），　∴m＝3n＋2。

联立：mn＝m＋n，m＝3n＋2，消去m，得：（3n＋2）n＝3n＋2＋n，　∴3n^2－2n－2＝0，
∴n＝［2＋√（4＋4×3×2）］/6＝（1＋√7）/3， 或n＝（1－√7）/3。
很明显，n＞0，∴n＝（1－√7）/3不合理，应舍去。

由n＝（1＋√7）/3，得：m＝1＋√7＋2＝3＋√7。
∴AB的中点横坐标＝（m＋n）/2＝［3＋√7＋（1＋√7）/3］/2＝2（1＋√7）/3。
∴AB中点到抛物线准线的距离＝1＋2（1＋√7）/3＝（5＋2√7）/3。