Question

高数斯托克斯公式问题。

Answer 1

按照原题是∮ydx+zdy+xdz来做：
把斯托克斯公式中的各个对象对号入座：其中
①p=y，q=z，r=x，
②积分曲面∑就取x+y+z=0与x2+y2+z2=a2的交线所围的平面，
③注意q对z的偏导数=1，r对x的偏导数=1，p对y的偏导数=1，其他3个偏导数都=0
则套用斯托克斯公式得到原曲线积分∮ydx+zdy+xdz=∫∫【∑上】dydz+dzdx+dxdy
把上式右边对坐标的曲面积分化成对面积的曲面积分=∫∫【∑上】（cosα+cosβ+cosγ）ds
其中cosα，cosβ，cosγ就是平面x+y+z=0的指向右上方向的方向余弦，cosα=cosβ=cosγ=1/√3
于是∫∫【∑上】（cosα+cosβ+cosγ）ds=√3∫∫【∑上】ds=√3*（∑的面积）
∑的面积=∏a2，故√3*∏a2为所求原曲线积分的值。