Question

证明f(x)=x[(1/2^x-1)+1/2]是偶函数

Answer 1

要证明函数为偶函数，则要证明f(x)=f(-x)
f(x)=x[(1/2^x-1)+1/2]
f(-x)=-x[(1/2^(-x)-1)+1/2]=-x[(1/{1/2^x-1)}+1/2]=-x[2^x/(1-2^x)+1/2]=-x[-1+1/(1-2^x)+1/2]
=-x[-1/2+1/(1-2^x)]
=x[1/2+1/(2^x-1)]=f(x)
所以f(x)=x[(1/2^x-1)+1/2]为偶函数

Answer 2

因为
2^x-1≠0
所以
x≠0
且:f(-x)=(1/(2^(-x)-1)+1/2)(-x)^3
=-(2^x/(1-2^x)+1/2)x^3
=-(-1+1/(1-2^x)+1/2)x^3
=-(-1/(2^x-1)-1/2)x^3
=f(x)
所以为偶函数
当x>0时,x^3>0,
「1/(2^x-1)+1/2」>0,所以f(x)>0
当x<0时,x^3<0,1/(2^x-1)>-1/2,所以「1/(2^x-1)+1/2」<0,所以f(x)>0
综上所述,f(x)>0