已知函数f(x)=ex-1-m-lnx,其中m∈R.(Ⅰ)若x=1是函数f(x)...
已知函数f(x)=ex-1-m-lnx,其中m∈R.(Ⅰ)若x=1是函数f(x)的极值点,求m的值并讨论函数f(x)的单调性;(Ⅱ)当m≤-1时,证明:f(x)>0....
已知函数f(x)=ex-1-m-lnx,其中m∈R. (Ⅰ)若x=1是函数f(x)的极值点,求m的值并讨论函数f(x)的单调性; (Ⅱ)当m≤-1时,证明:f(x)>0.
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解答:解:(Ⅰ)∵f(x)=ex-1-m-lnx,
∴f′(x)=ex-1-m-
1
x
∵x=1是函数f(x)的极值点,
∴f'(1)=0,解得m=0
当m=0时,f(x)=ex-1-lnx,
f′(x)=ex-1-
1
x
为(0,+∞)上的增函数,
又由于f′(1)=0,
所以当x∈(0,1)时,f'(x)<0,此时f(x)递减;
x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,此时f(x)递增;
(Ⅱ)当m≤-1时,
当x∈(0,+∞)时,
令g(x)=ex-(x+1),则g′(x)=ex-1>0
故g(x)=ex-(x+1)在(0,+∞)上为增函数
∴g(x)>g(0)=0
故ex>x+1恒成立;
令h(x)=x+1-lnx,则h′(x)=1-
1
x
,
∵x∈(0,1),h′(x)<0,x∈(1,+∞),h′(x)>0
故h(x)≥h(1)=2
即x+1>lnx恒成立,
所以当m≤-1,ex-1-m≥ex>x+1>lnx
所以,f(x)>0成立.
∴f′(x)=ex-1-m-
1
x
∵x=1是函数f(x)的极值点,
∴f'(1)=0,解得m=0
当m=0时,f(x)=ex-1-lnx,
f′(x)=ex-1-
1
x
为(0,+∞)上的增函数,
又由于f′(1)=0,
所以当x∈(0,1)时,f'(x)<0,此时f(x)递减;
x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,此时f(x)递增;
(Ⅱ)当m≤-1时,
当x∈(0,+∞)时,
令g(x)=ex-(x+1),则g′(x)=ex-1>0
故g(x)=ex-(x+1)在(0,+∞)上为增函数
∴g(x)>g(0)=0
故ex>x+1恒成立;
令h(x)=x+1-lnx,则h′(x)=1-
1
x
,
∵x∈(0,1),h′(x)<0,x∈(1,+∞),h′(x)>0
故h(x)≥h(1)=2
即x+1>lnx恒成立,
所以当m≤-1,ex-1-m≥ex>x+1>lnx
所以,f(x)>0成立.
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