Question

已知函数f(x)=ex-1-m-lnx，其中m∈R.(Ⅰ)若x=1是函数f(x)...

已知函数f(x)=ex-1-m-lnx，其中m∈R. (Ⅰ)若x=1是函数f(x)的极值点，求m的值并讨论函数f(x)的单调性; (Ⅱ)当m≤-1时，证明:f(x)＞0.

Answer 1

解答:解:(Ⅰ)∵f(x)=ex-1-m-lnx，
∴f′(x)=ex-1-m-
1
x
∵x=1是函数f(x)的极值点，
∴f'(1)=0，解得m=0
当m=0时，f(x)=ex-1-lnx，
f′(x)=ex-1-
1
x
为(0，+∞)上的增函数，
又由于f′(1)=0，
所以当x∈(0，1)时，f'(x)＜0，此时f(x)递减;
x∈(1，+∞)时，f'(x)＞0，此时f(x)递增;
(Ⅱ)当m≤-1时，
当x∈(0，+∞)时，
令g(x)=ex-(x+1)，则g′(x)=ex-1＞0
故g(x)=ex-(x+1)在(0，+∞)上为增函数
∴g(x)＞g(0)=0
故ex＞x+1恒成立;
令h(x)=x+1-lnx，则h′(x)=1-
1
x
，
∵x∈(0，1)，h′(x)＜0，x∈(1，+∞)，h′(x)＞0
故h(x)≥h(1)=2
即x+1＞lnx恒成立，
所以当m≤-1，ex-1-m≥ex＞x+1＞lnx
所以，f(x)＞0成立.