Question

已知函数f(x)=ln(1+x)-x

（Ⅰ）求f(x)的单调区间
（Ⅱ）记f（x）在区间[0，n],n∈N+上的最小值为bn，令an=ln(1+n)-bn
1.如果对一切n，不等式√an＜√(an+2)-c/√(an+2)恒成立，求实数c的取值范围
2.求证：a1/a2+a1a2/a2a4+……+a1a3……a（2n-1）/a2a4……a2n＜2√[(2an+1)-1]
具体看图

Answer 1

1、由f(x)=ln(1+x)-x的导数为1/(x+1)-1=-x/(x+1)<0得知f(x)在(-1,∞)上单调减少。
2、所以bn=ln(1+n)-n,an=ln(n+1)-bn=n
一、√n<√(n+2)-c/√(n+2) 得 c<n+2-√n*√(n+2)=(n+2-n)/2+[(n+2)-2√n√(n+2)+n]/2
=1+(√(n+2)-√n)^2/2
由于队所有n成立，而√(n+2)-√n可以任意小，且当c=1时，不等式依然成立，
所以c的范围是(-∞,1]
二、分两步证明，先用归纳法证明不等式(1) a1a3...a(2n-1)/[a2a4...a(2n)]<1/√(2n+1)
n=1时 a1/a2=1/2=1/√4<1/√3
设n=k时成立，即a1a3....a(2k-1)/[a2a4...a(2k)]<1/(√2k+1)
所以 a1a3...a(2k-1)a(2k+1)/[a2a4...a(2k)a(2k+2)]<(2k+1)/[√(2k+1)(2k+2)]
=√(2k+1)√(2k+3)/[(2k+2)√(2k+3)]
<(2k+1+2k+3)/[2(2k+2)√(2k+3)]
=1/√(2k+3)
所以当n=k+1时，不等式(1)成立。
所以对任意n>0不等式(1)成立。
第二步 运用第一问的不等式(c=1)时，1/√(n+2)<√(n+2)-√n
得a1/a2+a1a3/[a2a4]+...+a1a3...a(2n-1)/[a2a4...a(2n)<√3-√1+√5-√3+...+√(2n+1)-√(2n-1)
=√(2n+1)-1=√[a(2n)+1]-1
证毕。

Answer 2

f(x)=ln(1+x)-x
零和负数无对数，1+x＞0，定义域x＞-1
f'(x) = 1/(1+x) - 1 = (1-1-x)/(1+x)=-x/(1+x)
当x∈(-1，0)时，f'(x)＞0，函数单调增；
当x∈(0，+∞)时，f'(x)＜0，函数单调减。

∵函数在区间[0，n]单调减
∴bn = f(n) = ln(1+n)-n
∴an = ln(1+n)-bn = ln(1+n) - {ln(1+n)-n} = n
√an＜√(an+2)-c/√(an+2)
即：√n＜√(n+2)-c/√(n+2)
∵√(n+2)＞0
∴√ { n(n+2) } ＜ n+2 -c
∴c ＜ (n+2) - √(n^2+2n)
令f(n)=n+2 - √(n^2+2n)
则f'(n)=1-(n^2+2n) '/{2√(n^2+2n)} = 2 { √(n^2+2n) - (n+1)} / {2√(n^2+2n)}
∵√(n^2+2n)＜√(n+1)^2=n+1
∴f'(n)＜0
∴f(n)在定义域上单调减
当n趋近于+∞时，(n+1) - √(n^2+2n) +1趋近于1+
∴c≤1，即c∈（-∞，1]

∵an=n
∴欲证明a1/a2+a1a3/a2a4+……+a1a3……a（2n-1）/a2a4……a2n ＜ √(2an+1)-1
即相当于证明：1/2+1*3/(2*4)+......{1*3*...*(2n-1)} / {2*4*....2n) ＜ √(2n+1)-1
用数学归纳法：
当n=1时，1/2 ＜ 根号(2*1+1)-1=根号3 - 1，成立；
假设n=k（k属于N）时成立，即：
1/2+1*3/(2*4)+......{1*3*...*(2k-1)} / {2*4*....2k) ＜ √(2k+1)-1
那么，当n=k+1时：
根据不等式公式： {1*3*...*(2n+1)} / {2*4*....2n)} ＜ 1/√(2n+1)，有：
{1*3*...*[2(k+1)-1] } / {2*4*....[2(k+1)] } ＜ 1/√{2（k+1)+1} = 1/√(2k+3)

1/2+1*3/(2*4)+......{1*3*...*(2k-1)} / {2*4*....2k) + {1*3*...*[2(k+1)-1] } / {2*4*....[2(k+1)] }
＜ √(2k+1) -1 + {1*3*...*[2(k+1)-1] } / {2*4*....[2(k+1)] }
＜ √(2k+1) -1 + 1/√(2k+3)

又：(2k+2)^2 ＞ (2k+2)^2-1
√{(2k+2)^2} ＞ √{(2k+2)^2-1}
2k+2 ＞ √{(2k+2)^2-1} = √{(2k+2+1)(2k+2-1)} = √{(2k+3)(2k+1)}
2k+3-1 ＞ √{(2k+3)(2k+1)}
两边同除以√(2k+3)
√(2k+1)＜ √(2k+3) - 1/√(2k+3)

∴√(2k+1) -1 + 1/√(2k+3) ＜ √(2k+3) - 1/√(2k+3) -1 + 1/√(2k+3) = √[2(k+1)+1] - 1
∴1/2+1*3/(2*4)+......{1*3*...*(2k-1)} / {2*4*....2k) + {1*3*...*[2(k+1)-1] } / {2*4*....[2(k+1)] }
＜ √[2(k+1)+1] - 1

综上，当n=1时成立
假设n=k（k∈N）时成立，结果n=k+1时不等式仍成立。
得证。

Answer 3

解：（1）f(x)=ln(1+x)-x ≥0 （x＞-1）
求导f`(x)=1／(x+1) -1
当f'(x)＞0时，即有-1＜x＜0 同理的f'(x)＜0时，x＞0则
单调递增区间（-1，0）；单调递减区间（0，+∞）
(2)①An=n √an＜√(an+2)-c/√(an+2) 则√n＜√(n+2)-c/√(n+2)
平方的n＜n+2-2c+c²/(n+2) 有c²/(n+2)-2c+2＞0
设f(c)=c²/(n+2)-2c+2 求导的f'(c)=2c/(n+2)-2
因为n>0 所以f'(c)=2c/(n+2)-2>0时c≤1
即c的取值范围是（－∞，1]
②已知an=n 则a1/a2≤1/2 ...........a1a3……a（2n-1）/a2a4……a2n≤1/2
所以a1/a2+a1a2/a2a4+……+a1a3……a（2n-1）/a2a4……a2n≤n/2
√[(2n+1)-1]和n/2比较，来不及写了（n+2)/2＜√2n+1 恒成立。。。。。

Answer 4

1，（0，+无穷大）单调递减；（-无穷大，0）单调递增。
2，bn=ln（1+n）-n；an=n；