Question

高一的三角函数题，解一下

函数f(X)=1-2a-2acosx-2倍的sinx的平方 的最小值为g(a)(a是实数) (1)求g(a) (2)若g(a)=1/2，求a及此时f(x)的最大值

Answer 1

解:(1)整理并配方得f(x)=1-2a-2acosx-2(1-cosx^2)=2(cosx-a/2)^2-(a^2)/2-2a-1
对a/2的取值范围进行分类讨论
当a/2大于等于-1且小于等于1时，即a大于等于-2且小于等于2时，g(a)=-(a^2)/2-2a-1
当a/2小于-1时，即a小于-2时，cosx=-1时f(x)取得最小值g(a)=2(-1-a/2)^2-(a^2)/2-2a-1=1
当a/2大于1时，即a大于2时，cosx=1时f(x)取得最小值g(a)=2(1-a/2)^2-(a^2)/2-2a-1=1-4a
所以将g(a)写成分段函数的形式就可以了
(2)g(a)=1/2有两种情况，分别代入第1种和第三种情况得
第一种情况，若-(a^2)/2-2a-1=1/2，解得a=-2加减根号3，因为此时a必须大于等于-2且小于等于2，所以a=-2加根号3
第三种情况，1-4a=1/2,解得a=1/8，与此时a必须大于2的条件不符，舍掉。
综上所述，a=-2+根号3，此时f(x)的最大值在cosx=1时取得，代入后得最大值为9-4倍的根号3