Question

高一数学题一

某工厂去年的产品年产量为100万件,每件产品的销售价为10元，固定成本为8元，今年工厂第一次投入100万元成本进行技术改造并计划以后每一年比上一年多投入100万元技术改造费，预计产量年递增10万件，第N次投入后，每件成品的固定成本为g(n)=k/根号（n+1） (k>0,k为常数，n∈Z，且n>=0)，若产品销售价保持不变，第n次投入后的年利润为f(n)万元
2、问从今年起第几年利润最高？最高利润为多少万元？

答案的解析是：(2)由f(n)=(100+10n)(10-8/根号(n+1))-100n =1000-80×(n+10)/根号(n+1)

=1000-80((根号(n+1))+9/(根号(n+1)))≤1000-80×2根号9=520.

当且仅当(根号(n+1))= 9/(根号(n+1)),即n=8时取等号,

所以第8次投入后工厂的年利润最高,为520万元.

我想知道 为什么 1000-80((根号(n+1))+9/(根号(n+1)))≤1000-80×2根号9.呢？

这一步是怎么来的呢？

Answer 1

解：
f(n)
=(100+10n)(10-8/√(n+1))-100n
=1000+100n-800/√(n+1)-80n/√(n+1)-100n
=1000-80[(10+n)/√(n+1)]
就是求(10+n)/√(n+1)的最大值，为了看起来清楚，我们假设1/√(n+1)=k(显然有k>0)
(10+n)/√(n+1)=(k²+9)/k=k+9/k
那么k肯定在3的时候，k+9/k最大
代入1/√(n+1)=k，就知道n=8

OK？

Answer 2

根号（n+1)+9/根号（n+1)=1+9/根号（n+1)>=2*（根号9）
这里是用公式(根号a-根号b)^2>=0
也就是a+b>=2根号（ab)
所以 1000-80((根号(n+1))+9/(根号(n+1)))≤1000-80×2根号9

Answer 3

0 ≤ (a-b)^2 = a^2 + b^2 -2ab
2ab ≤ a^2 + b^2
取a =√[√(n+1)] = (n+1)^(1/4), b = √[9/√(n+1)],
2√[√(n+1)] * √[9/√(n+1)] ≤ {√[√(n+1)]}^2 + {√[9/√(n+1)]}^2 = √(n+1) + 9/√(n+1)
左边=2*√9 ≤ √(n+1) + 9/√(n+1)
-80*2*√9 ≥ √(n+1) + 9/√(n+1)
1000 - 80√(n+1) + 9/√(n+1) ≤ 1000-80*2*√9

Answer 4

由基本不等式a^2+b^2>（或=）2ab知根号(n+1)+9/(根号(n+1))大于（或等于）6也就大于2。所以可得上式