Question

单调数列收敛准则证明数列极限存在 X1=√2 Xn+1=√2Xn n=1.2.

Answer 1

有：xn=√(2+x(n-1))
∵ 1 < x1=√2 < x2 =√(2+x1) < 2
由数学归纳法：
假设： x(n-1) < xn < 2
xn=√(2+x(n-1)) < xn+1=√(2+xn) ∴ xn为单调数列；
xn+1=√(2+xn) < √(2+2) < 2 ∴ xn为有界数列,上界取2,下界取 x1=√2；
∴由单调有界原理： lim(n->∞) xn 存在 ,根据极限保序性,设：
lim(n->∞) xn = a ≥ 1
a = lim(n->∞) x（n+1）= lim(n->∞) √(2+xn)= √（2+a）
a = √（2+a）
解得 a=2 , a=-1 (舍）
∴ lim(n->∞) xn = 2