Question

微分方程 2ydx+(y^2-6x)dy=0 （提示：把x看成y的函数）。求通解 要过程。。

Answer 1

将x看成y的函数，方程变型有：dx/dy-3*(y^-1)=-y/2;
型如一阶线性微分方程 dy/dx+P(x)*y=Q(x)
的一般解形式： y = Ce^( -∫ P(x)dx )+e^( -∫ P(x)dx )* ∫ Q(x) e^( ∫ P(x)dx )dx.
待解方程中，P(x) = -3*(y^-1)，Q(x) = -y/2
则：x = Ce^[ -∫ -3*(y^-1)dy]+e^[ -∫ -3*(y^-1)dy]* ∫ -y/2 e^( ∫ -3*(y^-1)dy )dy
= Ce^(3*lny)+e^(3*lny)* ∫ -y/2 e^(-3*lny)dy
= Cy^3+y^3*∫ -y/2 * y^-3 dy
= Cy^3+y^3*∫ -(y^-2) /2 dy
= Cy^3+y^3*(y^-1)/2
= Cy^3+(y^2)/2

注：如果不把x看成y的函数，则方程变型为：dy/dx+2y/(y^2-6x)=0.此方程为非线性微分方程，本科生还是很难甚至是无法解出来的。
有可能过程中细节会出错，但思路是好的，你自己看看还有什么不懂的，可以再说.

Answer 2

查阅公式后，发现原解答错误，更改解答～

x=Cy^3+y^2/2，C为任意常数

详细过程点下图查看

Answer 3

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