Question

平面向量三点共线定理

Answer 1

平面向量三点共线定理：P是直线外AB外一点，C是平面PAB内一点，根据平面向量基本定理，有且仅有一对实数x，y，使得向量PC=x向量PA+y向量PB，以下两个命题互为充要条件：Q1<=>Q2；Q1：A、B、C三点共线；Q2：x+y=1。

一、例题一（见上图）

分解一遍运用该定理的解题过程：

1、找到共线的三点（A、B、D）。

2、确定系数x与y的比例（利用角平分线的性质）。

3、解出系数组合。

但是很多时候并不一定能直接套用定理，还要通过灵活的变形。

二、例题二（见上图）

1、分析：本题中需要克服的最大问题是如何把三个向量统一到一个三角形中，我们通过平移构造了b的相等向量。

可是如果遇到明显不共线的三点怎么办呢？我们可以从定理的推导本身寻找灵感。下面是对定理的一个局部推导（只考虑A在BC之间的情况）。

我们知道一个向量可以通过平行四边形法则分解到两个方向上，从而得到满足方向要求的一组基底。我们以这组基底为基础，可以通过调整模长构造出确定方向上新基底的线性组合。

2、利用共线定理这种方法确定一个向量的线性组合相比平行四边形法则主要有两个好处：

找一条直线相比确定一个平行四边形要容易。

这种方法确定的系数具有清晰的几何意义。