Question

怎样证明五点共圆？

Answer 1

五点共圆：任意一个星形，五个三角形，外接圆交于五点。求证：这五点共圆。

书面表示方法是：在任意五角星AJEIDHCGBF中，△AFJ、△JEI、△IDH、△HCG和△GBF各自的外接圆顺次相交的交点分别是册基尺K、O、N、M、L。
求证：K、O、N、M、L五点共圆。

五点共圆证明条件：

证州高明：连接CN、HN、KN、IN、MN、MG、ML、LF、LK、KA

∵∠ACN+∠AIN=∠NHD+∠AIN=∠NID+∠AIN=180° ∴A、I、N、C四点共圆

同理A、K、I、C四点共圆从而A、C、N、K四点共圆

∴∠GMN=∠GCN=∠ACN=180°－∠AKN又∠LMG=180°－∠LFG=∠LFA=∠LKA

∴∠LMN=∠LMG+∠GMN=∠LKA+(180°－∠AKN)

∴∠LMN+∠LKN=∠LKA+(180°－∠AKN)+∠LKN=180° 故K、L、M、N四点共圆

同理可证O、L、M、N四点共圆

∴K、O、N、M、L五点共圆证毕。

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