Question

若函数f(x)在[a,b]上连续且有反函数,问f(x)在[a,b]上是否单调并证明?？

Answer 1

单调.
证明：（反证法）
假设f(x)在[a,b]在不单调,即函数必有增有减,且函数连续
则至少存在x1属于[a,b],x2属于[a,b],且x1不等于x2,使得：
c=f(x1)=f(x2);
设f(x)的反函数为g(x),则依据定义有
g(c)=x1和g(c)=x2
即x1=x2,此与前面的“x1不等于x2”相矛盾,
故假设不成立,f(x)单调,1,单调
反正,若不单调,则存在a f(c)且f(d)>f(e)不妨设f(c)>f(e),则由介值定理,存在δ∈(d,e)使得f(c)=f(δ),从而与双射矛盾(ps:逆映射存在则原映射必是双射),0,单调。
证明：（反证法）
假设f(x)在[a,b]在不单调，即函数必有增有减，且函数连续
则至少存在x1属于[a,b],x2属于[a,b]，且x1不等于x2，使得：
c=f(x1)=f(x2);
设f(x)的反函数为g(x)，则依据定义有
g(c)=x1和g(c)=x2
即x1=x2,此与前面的“x1不等于x2”相矛盾，
故假设不成立...,0,若函数f(x)在[a,b]上连续且有反函数,问f(x)在[a,b]上是否单调并证明?
急