Question

高数难题5

一共三道题，又麻烦大家了，谢谢了啊，还是详细的算法和步骤，好的话，有加分的哦

Answer 1

第一个发散，

第二个收敛，第三个也收敛。

解析见图片：

Answer 2

1.
ln(1)=0.
∑(n=1,∞)[ln(n+1)-ln(n)]=lim(n->∞) [ln(2)-ln(1)+ln(3)-ln(2)+...+ln(n)-ln(n-1)+ln(n+1)-ln(n)]
=lim(n->∞) ln(n+1) -->∞, 级数∑(n=1,∞)[ln{(n+1)/(n)}]发散
2.
∑(n=1,∞) 1/[n*(n+1)^(1/2)]<∑(n=1,∞) 1/[n*n^(1/2)]=∑(n=1,∞) 1/n^(3/2)
设a(n)= 1/n^(3/2)
a(n+1)/a(n)=[1/(n+1)^(3/2)] /[1/n^(3/2)]=[n/(n+1)]^(3/2)<1
级数∑(n=1,∞) 1/[n*(n+1)^(1/2)]收敛
3.
设a(n)=1/(3^n-n)
lim(n->∞) [a(n+1)/a(n)]=lim(n->∞) [3^n-n]/[3^(n+1)-(n+1)]
=lim(n->∞)[(ln3)*3^n-1]/[(ln3)*3^(n+1)-1] (洛毕达法则)
=lim(n->∞)[(ln3)^2*(3^n)]/[(ln3)^2*(3^(n+1))]=1/3
级数∑(n=1,∞)1/(3^n-n)收敛