Question

设函数f(x)=x^2-alnx,g(x)=x^2-x+m,令F(x)=f(x)-g(x).(1)当 m=0，x属于(1,+无穷大)时，试求实数a的取值范

设函数f(x)=x^2-alnx,g(x)=x^2-x+m,令F(x)=f(x)-g(x).(1)当 m=0，x属于(1,+无穷大)时，试求实数a的取值范围F(x)的图像恒在x轴上方。(2)当a=2时，若函数F(X)在[1,3]上恰有两个不同零点，求实数m的取值范围。(3)是否存在实数a的值，使函数f（X)和函数g(x)在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出a的值，若不存在，说明理由。在线等答案^_^高手们帮帮忙，解题过程啊。

Answer 1

解：（1）由a=0,f(x)≥h(x)可得-mlnx≥-x

即 m<=x/lnx

记φ=x/lnx，则f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立等价于φ<=ymin.

求得φ'=lnx-1/(lnx)^2

当x在(1,e)时;φ'<0;
当x>e时，φ'>0

故φ在x=e处取得极小值，也是最小值，

即φmin=e，故.m<=e

（2）函数k(x)=f(x)-h(x)在〔1,3〕
上恰有两个不同的零点等价于方程x-2lnx=a，在〔1,3〕上恰有两个相异实根.

令g(x)=x-2lnx,则 g '=1-2/x

当1<=x<2时， g '<0
当2<x<=3时，g '> 0

g(x)在[1,2]上是单调递减函数，在上是单调递增函数。

故 gmin=g(2)=2-ln2

又g(1)=1,g(3)=3-2ln3

∵g(1)>g(3),∴只需g(2)<a≤g(3),

故a的取值范围是(2-2ln2,3-2ln3)

（3）存在m=1/2，使得函数f(x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调性

,函数f(x)的定义域为（0,+∞）

若m<=0，则f '>=0，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，不合题意;

若m>0,由f' >0 可得2x2-m>0，解得x>根号（m/2)或x<-根号（m/2（舍去）

故m>0时，函数的单调递增区间为(根号（m/2),+∞)

单调递减区间为(0,根号（m/2) )

而h(x)在(0,+∞)上的单调递减区间是(0,1/2)，单调递增区间是(1/2，+∞)

故只需:
根号（m/2)=1/2，解之得m=1/2

即当m=1/2时，函数f(x)和函数h(x)在其公共定义域上具有相同的单调性