Question

已知角AOB=45度，P是边OA上一点，OP=4根号2，以点p为圆心画圆，圆P交OA于点C

已知∠AOB=45°，P是边OA上一点，OP= 4根号2，以点P为圆心画圆，⊙P交OA于点C，点Q是射线OB上的一个动点，连结PQ，交⊙P于点D
若PD/DQ=2/3,（1）当OQ=7时，求圆P的半径；(2)当点Q在射线OB上运动时，以点Q为圆心，OQ为半径的圆Q与圆P相切，试求OQ的长

Answer 1

∠AOB=45°，OP= 4根号2，OQ=7
根据余弦定理：
PQ^2=OP^2+OQ^2-2OP*OQcos45°
=(4根号2)^2+7^2-2*4根号2*7*根号2/2=25
PQ=5
PD/DQ=2/3
PD/(PD+DQ)=2/(2+3)
PD/PQ=2/5
半径PD=PQ*2/5=5*2/5=2

OP=4根号2，PD=2，QD=OQ=r，根据余弦定理：
PQ^2=OP^2+OQ^2-2OP*OQcos45°

如果外切：PQ=PD+QD=2+OQ
(PD+QD)^2=(4根号2)^2+OQ^2-2*4根号2*OQ*根号2/2
(2+OQ)^2=32-8OQ
OQ^2+12OQ-28=0
(OQ+14)(OQ-2)=0
OQ+14＞14
∴OQ=2

如果内切：PQ=QD-PD=OQ-2

(QD-PD)^2=(4根号2)^2+OQ^2-2*4根号2*OQ*根号2/2
(OQ-2)^2=32-8OQ
(OQ+2)^2=32
(OQ+2+4根号2)(OQ+2-4根号2)=0
OQ+2+4根号2＞0
∴OQ+2-4根号2=0
∴OQ=4根号2-2