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如图,OA和OB是⊙O的半径,并且OA⊥OB,P是OA上任一点,BP的延长线交⊙O于点Q,过点Q的直线交OA延长线于点
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(1)连接OQ,
因为RP=RQ
所以∠RQP=∠RPQ=∠OPB,
因为BO=OQ,
所以∠OQB=∠OBQ
因为∠AOB=90° ,
所以∠OPB+∠OPQ=90°,
则∠OQR=∠OQB+∠RQP=∠OBP+∠OPB=90°,
所以直线QR是⊙O的切线;
(2)因为OP=PA=1,
所以OA=OQ=2,
设RQ=RP=x,则OR=x+1,
在Rt△ROQ中,x^2+4=(x+1)^2,
解得x=3/2 ,即RQ的长3/2.
因为RP=RQ
所以∠RQP=∠RPQ=∠OPB,
因为BO=OQ,
所以∠OQB=∠OBQ
因为∠AOB=90° ,
所以∠OPB+∠OPQ=90°,
则∠OQR=∠OQB+∠RQP=∠OBP+∠OPB=90°,
所以直线QR是⊙O的切线;
(2)因为OP=PA=1,
所以OA=OQ=2,
设RQ=RP=x,则OR=x+1,
在Rt△ROQ中,x^2+4=(x+1)^2,
解得x=3/2 ,即RQ的长3/2.
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在图中,连接OQ
∵RP=RQ ∴⊿PRQ是等腰三角形,∠RPQ=∠RQP
∵∠OPB=∠RPQ ∴①∠RQP=∠OPB
∵OA⊥OB,P是OA上任一点 ∴⊿BOP是直角三角形,故②∠OBP+∠OPB=90度
∵Q是⊙O上的一点 ∴OB=OQ=半径,⊿BOQ是等腰三角形,故③∠OBQ=∠OQB
由①、②、③得到∠OQB+∠RQP=90度,即RQ⊥OQ,且Q是⊙O上的一点
得解(1):直线QR是⊙O的切线
∵OP=PA=1,而OP+PA=半径=OB=2,OP⊥OB ∴tan∠OBP=OP/OB=1/2
∵⊿QOB是腰为半径的等腰三角形,且∠POB=90度
∴∠QOR=∠QOB-90度=180度-2∠OBQ-90度=90度-2rtan(1/2)
RQ=OQ*tan∠QOR=OQ*tan(90度-2rtan(1/2))=2*cot(2rtan(1/2))=2/tan(2rtan(1/2))
=2/(2tan(rtan(1/2))/[1-(tan(rtan(1/2)))^2])
=(1-(1/2)^2)/(1/2)=2*(3/4)=3/2=1.5
得解(2)
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