Question

已知函数f(x)=根号下x-1/x,求证（1）f（x）在其定义域上为增函数；（2）满足等式f（x）=1的实数的值至多只

Answer 1

（1）f(x)=√[(x-1)/x]可以看做y=√u,u=(x-1)/x=1-1/x的复合函数，其定义域由(x-1)/x>=0确定，为x>=1,或x<0.
y=√u,↑；
u=(x-1)/x=1-1/x在x>=1时,或x<0时↑，
∴f(x)在x>=1时,或x<0时↑，但是f(-1/2)=√3>f(2)=1/2,f（x）在其定义域上不是增函数。
（2）f(x)=1,
∴(x-1)/x=1,x-1=x,-1=0,无解。
[注]若f(x)=√(x-1/x),则f(x)=1,x-1/x=1,x^2-x-1=0,x=(1土√5）/2.
f（x）在其定义域上也不是增函数。

Answer 2

(1)在(0,+∞)上任取实数x1,x2,且有x1>x2,则有:
f(x1)-f(x2)=√x1-(1/x1)-√x2+(1/x2)=(√x1-√x2)+[(x1-x2)/x1x2]
故有:x1>x2>0,√x1>√x2>0
f(x1)-f(x2)=(√x1-√x2)+[(x1-x2)/x1x2]>0
故函数f(x)在定义域上为增函数,得证
(2)f(x)=√x-(1/x)
f...

Answer 3

f'=0.5（1+1/x^2)/(x-1/x)^0.5>0,f递增，所以f(x)=1至多有一根