Question

已知函数f（x）=ax+b,当｜x ｜≤1时，有 ｜f(x) ｜≤1，求证 ｜b ｜≤1， ｜a ｜≤1

Answer 1

f（x）=ax+b,当｜x ｜≤1时，有 ｜f(x) ｜≤1,
即在闭区间[-1,1]上-1≤f(x)≤1,
设f(x)在[-1，1]上的最大值为M，最小值为m,则
-1≤M≤1且-1≤m≤1,
又因为f(x)在[-1，1]上是单调函数，所以M和m 一个在x=-1时取到，一个在x=1时取到，
所以-1≤a+b≤1且-1≤-a+b≤1，两式直接相加得-1≤b≤1,即｜b ｜≤1，
将第二个式子变成-1≤a-b≤1与第一个式子相加得-1≤a≤1,即｜a｜≤1.

Answer 2

本题需讨论处理:
当a大于0时，y 随x增大而增大，所以当x=1时，y有最大值a+b, 当x等于-1时，y有最小值-a+b.
由题意知A : a+b<=1, B :-a+b>=-1. 由-a+b>.=-1 得 C:a-b<=1 。 A+C=2a<=2得 a<=1 再由A式
加上a>0得 b<1 ，同理B式 加上 a>0 得 b>-1
当a=0时，易知-1<=b<.=1
当a<0时，论证同第一种情况 .，y 随x增大而减小，所以当x=1时，y有最小值a+b, 当x等于-1时，y有最大值-a+b.
于是由题意知A : a+b>=-1, B :-a+b<=1. 由-a+b<.=1 得 C:a-b》-1 。 A+C=2a》-2得 a》-1 再由A式
加上a<0得 b>-1 ，同理B式 加上 a<0 得 b<1
综上所述，a的绝对值《1，b的绝对值《1