Question

求助！！！已知：a>b>c>0,求证：(a^a)(b^b)(c^c)>(abc)^((a+b+c)/3)

Answer 1

要证：(a^a)(b^b)(c^c) > (abc)^((a+b+c)/3) ，
只要证：alna + blnb + clnc > ((a+b+c)/3)(lna+lnb+lnc) ，【不等式两边取对数】
只需证：(alna + blnb + clnc)/(a+b+c) > (lna+lnb+lnc)/3 ，【不等式两边同除以(a+b+c)】
此不等式左边是 lna，lnb，lnc 的加权平均值，右边是 lna，lnb，lnc 的算术平均值。

已知：a>b>c>0，可得：lna>lnb>lnc，
则有：大的数权重较大，小的数权重较小，
所以，加权平均值大于算术平均值，
即有：(alna + blnb + clnc)/(a+b+c) > (lna+lnb+lnc)/3 ，
所以，(a^a)(b^b)(c^c) > (abc)^((a+b+c)/3) 。

Answer 2

证明：不等式变形为a^(2a-b-c)*b^(2b-a-c)*c^(2c-a-b)>0
(a/b)^(a-b)*(b/c)^(b-c)*(c/a)^(c-a)>1（1）
因为a>b>c>0所以a/b>1,a-b>0，故(a/b)^(a-b)>1
同理可得(b/c)^(b-c)>1,(c/a)^(c-a)>1
所以不等式（1）成立，故原不等式成立。
证毕！