Question

如图,一条直线上有三点A，B，C,点C在点A与点B之间，点P是此直线外一点，设∠APC＝α，∠BPC＝β.

求证：Sin（α＋β）／PC＝Sinα／PB＋Sinβ／PA

就是北师大版的高中数学必修5习题2·2的题，没图见谅

Answer 1

过点C作CE平行于PA，交PB于点E，则∠PCE=α，∠PEC=π－(α＋β)。则在三角形PCE中，有：sin(∠PEC)/PC=sin(∠PCE)/PE=sin(∠BPC)/CE，即sin[π－(α＋β)]/PC=sinα/PE=sinβ/CE，所以sin(α＋β)/PC=[PA×sinα]/[PA×PE]=[PB×sinβ]/[PB×PE]，利用比例性质，有：sin(α＋β)/PC=[PAsinα＋PBsinβ]/[PA×PE＋PB×CE]。下面证明分母PA×PE＋PB×CE就是PA×PB。
由于CE与PA平行，所以CE：PA=BE：PB，所以PA×PE＋PB×CE=PA×PE＋PA×BE=PA×(PE＋BE)=PA×PB。所以，sin(α＋β)/PC=[PAsinα＋PBsinβ]/(PA×PB)=sinα/PB＋sinβ/PA。证毕。

Answer 2

面积S=1/2*AP*PB*sin（α+β）
S=1/2*PA*PC*sinα+1/2*PB*PC*sinβ
面积相等 两边同时除以（1/2*PA*PB*PC)
整理得： sin(α+β)/PC=(sinα/PB)+(sinβ/PA)