Question

已知O是△ABC内任意一点,连接AO,BO,CO并延长交对边于A',B',C',则

OA'/AA'+OB'/BB'+OC'/CC'=1, 这是平面几何中的一个命题,其证明常采用"面积法":OA'/AA'+OB'/BB'+OC'/CC'=S△OBC/S△ABC+S△OCA/S△ABC+S△OAB/S△ABC=S△ABC/S△ABC=1 运用类比,猜想对于空间中的四面体V-BCD,存在什么类似的结论,并用体积法证明

Answer 1

三角形面积=s面积=(1/2)*高*底边
四面体体积V=V_四面体=(1/3)*高*底面积
已知O是ABCD内任意一点,连接AO,BO,CO,DO并延长交对面于A',B',C',D',,则
OA'/AA'+OB'/BB'+OC'/CC'+OD/OD'=1
设四面体体积=V_四面体
V_ABCD =V_BACD =V_CABD =V_DABC
OA'/AA'+OB'/BB'+OC'/CC'+OD/OD'
=V_OBCD/V_ABCD + V_OACD/V_BACD + V_OABD/V_CABD + V_OABC/V_DABC
=(V_OBCD + V_OACD + V_OABD+ V_OABC) / V_ABCD
=1

Answer 2

这个应该很好证明吧，因为对于任意的v-bcd中由v向面bcd引垂线，垂足为o，o必在面bcd上，ov是高，（问题转化到平面）对面bcd用“面积法”得证。

追问

饿.还是有点不懂 .. 可以帮我写下解答过程么. 能加分.

追答

对于任意的V-bcd中由v向面bcd引垂线，垂足为O，高为VO
OA'/AA'+OB'/BB'+OC'/CC'=Vv-OBC/Vv-ABC+Vv-OCA/Vv-ABC+Vv-OAB/Vv-ABCVv=1(Vv-ABC表示四面体v-ABC的体积)