Question

已知双曲线x^2/4+y^2=1 (1)求以点(-1,1/2)为中点的弦所在直线的方程(2)求过点(-1,1/2)的弦的中点轨迹方程

Answer 1

已知椭圆x^2/4+y^2=1 (1)求以点P(-1,1/2)为中点的弦所在直线的方程(2)求过点(-1,1/2)的弦的中点轨迹方程.
解: 【原题有误!❶给的方程是椭圆方程,不是双曲线方程,若改成双曲线方程,则不存在以点P为中
点的弦,因此只能按椭圆来作.❷无论椭园还是双曲线,以某一点为中点的弦只有一条,无所谓"弦的中点的轨迹",因此第2问无解.】
设以P(-1, 1/2)为中点的弦与椭圆的两个交点为A(x₁,y₁); B(x₂,y₂),则:
x₁+x₂=-2.............(1)
y₁+y₂=1..............(2)
x²₁/4 + y₁=1.......(3)
x²₂/4 +y₂=1.......(4)
(3)-(4)得 (1/4)(x₁+x₂)(x₁-x₂)+(y₁+y₂)(y₁-y₂)=0
将(1)(2)代入得 -(1/2)(x₁-x₂) + (y₁-y₂)=0
故所求弦的斜率k=(y₁-y₂)/(x₁-x₂)=1/2
于是得该弦所在直线的方程为: y=(1/2)(x+1)+1/2=(1/2)x+1
写成一般形式就是: x - 2y+2=0