Question

已知函数f(x)=x-1/x，g(x)=x+1/x

已知函数f(x)=x-1/x，g(x)=x+1/x
(1)求证：函数f(x)是奇函数
（2）分别计算f(4)-f(2)．g(2)和f(9)-f(3)*g(3)的值，由此猜想涉及函数f(x)与g (x)的对所有不为零的实数x都成立的恒等式，并给出证明

Answer 1

1、
-f(-x)=-[-x+1/x]=x-1/x=f(x)
f(x)是奇函数
2、
f(4)-f(2)=4-1/4-2+1/2=2+1/4=9/4
f(9)-f(3)g(3)=9-1/9-(3-1/3)(3+1/3)
=9-1/9-9+1/9
=0
猜想有恒等式f(x^2)-f(x)g(x)=0对于所有不为零实数都成立
证明：
f(x^2)=x^2-(1/x)^2
f(x)g(x)=(x-1/x)(x+1/x)
=x^2-(1/x)^2
即f(x^2)=f(x)g(x)
再猜想有恒等式f(2x)-f(x)=x+1/(2x)
f(2x)=2x-1/(2x)
f(x)=x-1/x
f(2x)-f(x)=2x-1/(2x)-x+1/x
=x+1/x-1/(2x)
=x+1/(2x)

Answer 2

设h(x)=(x+1)/(x-1),
可分析h(x)的单调性得：
x∈(-∞,1)时，h(x)的值域为(1,-∞)【为了与x值一一对应，h(x)不固定大小顺序】，单调递减；
x∈(1,+∞)时，h(x)的值域为(+∞,1)。

现在把h(x)值域看着g(x)的定义域，则对应于上图有：
h(x)∈(-∞,-1)时，g(x)对应于(+∞,-1)，单调递减；
h(x)∈(-1,1)时，g(x)对应于(-1,a)，单调递增。

h(x)∈(1,2)时，g(x)对应于(a,1)，单调递增；
h(x)∈(2,+∞)时，g(x)对应于(1,-∞)，单调递减。

所以g(x)单调区间为：
h(x)∈(-1,2)为g(x)的单调递增区间；
h(x)∈(-∞,-1)∪(2,+∞)为g(x)的单调递减区间。

而h(x)对应于x有:
h(x)∈(-1,2)时，x∈(-∞,0)∪(3,+∞)，g(x)单增；
h(x)∈(-∞,-1)时，x∈(0,1),h(x)∈(2,+∞)时，x∈(1,3)，g(x)单减。

所以最后得：
x∈(-∞,0)∪(3,+∞)，g(x)单调递增；
x∈(0,1)∪(1,3)，g(x)单调递减。

Answer 3

530301205X