Question

高一数学（急）

1、梯形ABCD中，AD//BC，AB=5，AC=9，∠BCA=30°，∠ADB=45°，求BD
2、a-b=4，a+c=2b，最大角120°，求三边长
3、tanA：tanB=a²：b²，判断三角形形状
4、c=4，b=7，BC边中线AD=7/2，求a
5、lga-lgc=lgsinB=-lg根号2，B为锐角，判断三角形形状
6、3b=2asinB倍根号下3，cosB=cosC，判断三角形形状
7、证明a-ccosB/b-ccosA=sinB/sinA
要详细过程

Answer 1

1）设：AC,BD交于E点，过E点作MN垂直于AD和BC交AD于M，交BC于N。
AC=AE+EC=9，所以MN=ME+NE=AE*sin30°+CE*sin30°=9*0.5=4.5。
同理，BD=MN/sin45°=4.5/sin45°=（9*根号2）/2
2) 首先判断最长的边不是b，也不是c(否则a+c不等于2b)，故最长的边是a .
a-b=b-c=4,根据余弦定理：
（b-4）^2+b^2-(b+4)^2=cos120°*2*b*(b-4)
解得：b=10,所以a=14,b=10,c=6
3)以a,b为腰的等腰三角形，
tanA：tanB=a²：b²，所以(sinA*cosB)/(cosA*sinB)=a²：b²=(sinA*sinA)/(sinB*sinB）
约分整理得：sinA*cosA=sinB*cosB
所以sin2A=sin2B
角A=角B
4） 设AC中点为E，连接DE，则DE=2，AE=AD=7/2.
所以cosAED=2/7
所以cosCED=-2/7
DE=2 ,CE=7/2
所以CD方=CE＾2＋DE＾2－2CE*DE*cosCED=49/4
解得：CD＝7/2，所以BC＝7
5）等腰直角三角形。
lga-lgc=lgsinB=-lg根号2
10^（lga-lgc）=10^lgsinB=10^(-lg根号2)
整理得：a/c=sinB=根号2/2
B是锐角，B=45°
a/c=sinA/sinC=根号2/2
A+B+C=180°
解得：A=B=45°，C=90°
6）等边三角形。
3b=2asinB倍根号下3
所以3sinB=2sinAsinB倍根号3
所以sinA=根号3/2
A=60°，cosB=cosC
B=C
所以A=B=C.
7)证明：
sinB/sinA=b/a
原式：a-ccosB/b-ccosA=b/a
a^2-accosB=b^2-bccosA
根据余弦定理：cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc代入上式
化简整理得：(a^2+b^2+c^2)/2=(a^2+b^2+c^2)/2
原命题可证！

Answer 2

1、
过点A作AE‖DB交CB的延长线于点E，过A作AH⊥BC于点H
∵AD‖EB,AE‖DB,∴四边形AEBD是平行四边形，∴EA=BD
在直角△AHC中，∠ACH=30°,∴AH=AC÷2=4.5
∵AD‖BC,∴∠CBD=∠ADB=45°,
∵AE‖DB,∴∠E=∠CBD=45°
在直角△AHE中，∠E=45°,∴EH=AH=4.5
∴AE=2分之9倍根号下2
∴BD=2分之9倍根号下2

2

由a-b=4
则a>b

由a+c=2b<2a
得a>c

由大角对大边
A=120°

a+c=2b
a-b=4
解得a=b+4 c=b-4

由余弦定理
b^2+c^2-a^2=2bccosA
b^2+(b-4)^2-(b+4)^2=2b(b-4)cos120°
b^2-16b=-b(b-4)
b^2-10b=0
b=10

则a=14 c=6

3
根据正弦定理a/sinA=b/sinB
所以tanA/tanB=(sinA)方/(sinB)方
又因为sinA/tanA=cosA
所以2sinAcosA=2sinBcosB
根据倍角公式sin2A=sin2B
所以A=B 或者角A+角B=90度
所以是等腰或直角三角形

4

延长AD到E，使AD＝DE，∴EA=7, 连接EC,BC, 则◇ABEC为平行四边形
∴EB=AC=7, ∴△EAB为等腰三角形
作EF⊥AB于F,交BD于G，则BF=2，EF=√(7²-2²)=3√5，
∴GF=EF/3=√5(重心性质），
∴BG=√(5+4)=3=2BD/3====>BD=9/2
∴a=2BD=9。

5
因为 lga-lgc=lgsinB=-lg根号2
所以 lga/c=lgsinB=lg(根号2)^(-1)=lg根号2/2
即 sinB=根号2/2=a/c
因为 ∠B为锐角 所以∠B=45，且△ABC位直角三角形
所以 △ABC为等腰直角三角形

6

3b=2asinB倍根号下3
所以3sinB=2sinAsinB倍根号3
所以sinA=根号3/2
A=60°，cosB=cosC
B=C
所以A=B=C.

等边三角形

7
由正弦定理
(a-ccosB)/(b-ccosA)
=(sinA-sinCcosB)/(sinB-sinCcosA)
=[sin(π-B-C)-sinCcosB]/[sin(π-A-C)-sinCcosA]
=[sin(B+C)-sinCcosB]/[sin(A+C)-sinCcosA]
=(sinBcosC+sinCcosB-sinCcosB)/(sinAcosC+sinCcosA-sinCcosA)
=(sinBcosC)/(sinAcosC)
=sinB/sinA