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已知椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0),直线l1:x/a-y/b=1被椭圆C截得弦长为2√2,过椭圆C的右交点且斜率为√3
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已知椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0),直线l1:x/a-y/b=1被椭圆C截得弦长为2√2,过椭圆C的右交点且斜率为√3的直线L2椭圆C截得弦长是椭圆长轴2/5,求椭圆C的方程。
解:联立
x²/a²+y²/b²=1(1)
x/a-y/b=1(2)
(2)²
x²/a²+y²/b²-2xy/(ab)=1
代入(1)
2xy/(ab)=0
xy=0
所以
x=0,y=-b
y=0,x=a
该直线过椭圆的下端点和右顶点
则a²+b²=8(3)
设直线L2:y=√3(x-c)
代入椭圆方程:整理(3a²+b²)x²-6a²cx+a²(3c²-b²)=0
韦达定理:x1+x2=6a²c/(3a²+b²),x1*x2=a²(3c²-b²)/(3a²+b²)
代入弦长公式:4a/5=√(1+3)[(6a²c/3a²+b²)²-4a²(3c²-b²)/(3a²+b²)]
整理:4b^4/(3a²+b²)²=1/25
2b²/(3a²+b²)=1/5
整理:a²=3b²代入(3)
3b²+b²=8
b²=2
a²=6
椭圆方程:x²/6+y²/2=1
解:联立
x²/a²+y²/b²=1(1)
x/a-y/b=1(2)
(2)²
x²/a²+y²/b²-2xy/(ab)=1
代入(1)
2xy/(ab)=0
xy=0
所以
x=0,y=-b
y=0,x=a
该直线过椭圆的下端点和右顶点
则a²+b²=8(3)
设直线L2:y=√3(x-c)
代入椭圆方程:整理(3a²+b²)x²-6a²cx+a²(3c²-b²)=0
韦达定理:x1+x2=6a²c/(3a²+b²),x1*x2=a²(3c²-b²)/(3a²+b²)
代入弦长公式:4a/5=√(1+3)[(6a²c/3a²+b²)²-4a²(3c²-b²)/(3a²+b²)]
整理:4b^4/(3a²+b²)²=1/25
2b²/(3a²+b²)=1/5
整理:a²=3b²代入(3)
3b²+b²=8
b²=2
a²=6
椭圆方程:x²/6+y²/2=1
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