Question

已知a,b∈R,求证:(a^2+b^2)(c^2+d^2)≥(ac+bd)^2

Answer 1

证明：∵（a²＋b²）（c²＋d²）－（ac＋bd）²
＝a²c²＋a²d²＋b²c²＋b²d²－a²c²－b²d²－2abcd
＝a²d²－2abcd＋b²c²
＝（ad－bc）²≥0
即：（a²＋b²）（c²＋d²）－（ac＋bd）²≥0
∴（a²＋b²）（c²＋d²）≥（ac＋bd）²
证毕！

Answer 2

(a^2+b^2)(c^2+d^2)
=a^2c^2+(a^2d^2+b^2c^2)+b^2d^2 （注意打括号里的相当于m^2+n^2了)
>=a^2c^2+2abcd+b^2d^2 (因为m^2+n^2>=2mn)
=(ac+bd)^2