Question

数学数列难题

已知a1=2,a<n+1>=a<n>+1/a<n>,求a<n>通项

Answer 1

猜想：通项是不能用初等函数表示出来的.
理由:通项的式子是非线性的.难以用一般的方法求出来。要求的所谓的“通项”，其实也只不过是以n作自变量，用那八九类基本初等函数复合而已。否则，若不能用那些基本初等函数复合得到，通项也就不能精确地表示出来了，只能求助于计算数学，求出某一项的近似值，也不能求出所有的近似值。

所以，现在首要的问题就是证明这个通项能不能写出解析表达式，即用初等函数复合出来。如果这个问题解决不了，很可能我们的一切努力都是白费了。

在微分方程中，刘维尔证明过几乎所有的非线性方程，解函数没有解析表达式。

而在这里，我估计结论差不多。更具体的如何去操作，不得而知了。

但可以证明这个通项是趋于正无穷的.从已知的式子,利用归纳法可证an<=n,从而1/an>1/n,从而a(n+1)>=an+1/n,而an递增，从而通项的增长速度不慢于调和级数

Answer 2

题目这样的话可求：a<n+1>=（a<n>+1）/a<n>,

是通项公式是其次分式的求法，有两种，一种是如下图的构造法，另外一种是不动点法（网上随便搜索都会有）。这个通项最后结果是很复杂的。虽然方法有，但很难算，所以建议你先了解这样的齐次式子的解法先。