Question

如图示圆O是△ABC的外接圆,∠BAC与∠ABC的平分线相交于I,延长AI交圆O于点D,连结BD、DC. 求证：(1)BD=DC=DI

(2)若圆O的半径为10cm，∠BAC=120度，求△BDC的面积

Answer 1

1)证明:
∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠BAD=∠DAC
∵∠BCD=∠BAD,∠DAC=∠DBC(同弧上的圆周角相等)
∴∠BCD=∠DBC
∴BD=DC
∵BI是∠ABC的平分线,
∠BID=∠BAD+∠ABI=∠DAC+∠IBC=∠DBC+∠IBC=∠DBI∴DB=DI,
:BD=DC=DI
(2)∠BAC=120度,∠BDC=180度-120度=60度,又BD=DC，
所以∴∠BCD=∠DBC=60度，△BDC为等边三角形，连接BO并延长交DC于E点，连接OD，则BE垂直平分DC，OD平分∠BDC,∠ODE=30度，圆半径OD=OB=10cm,OE=OD/2=5cm,DE=(根号3)OE=5根号3cm高BE=OB+OE=15cm,
△BDC的面积=BE*DC/2=BE*DE=15*5根号3=75根号3(平方cm）

Answer 2

(1)证明:
∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠BAD=∠DAC
∵∠BCD=∠BAD,∠DAC=∠DBC(同弧上的圆周角相等)
∴∠BCD=∠DBC
∴BD=DC
∵∠BID=∠BAD+∠ABI=(∠BAC+∠ABC)/2
∠DBI=∠DBC+∠CBI=∠DAC+∠ABC/2=(∠BAC+∠ABC)/2
∴DB=DI
故:BD=DC=DI
(2) 由上题所证,BD=DC,∵∠ABC=120°,∴∠BDC=180°-∠ABC=60°
∴ΔBDC是等边三角形
高=R+R/2=3/2R=3*10/2=15cm
边长=15/(√3/2)=10√3cm
SΔBDC=15*10√3/2=75√3(平方厘米)