Question

已知直线y=x-2p与抛物线y^2=2px(p>0)相交于点A、B,求证OA ⊥OB

Answer 1

直线和抛物线的交点同时满足直线和抛物线的方程式，
因此可以把y = x-2p代入y^2 = 2px，得
(x-2p)^2 = 2px，即x^2 - 6px + 4p^2 = 0
因为p>0，所以x的两个解，也就是A和B的横坐标分别是
3+(根号5)*p 和 3-(根号5)*p
y的值对应是
1+(根号5)*p 和 1-(根号5)*p

所以OA和OB的斜率分别是
[3-(根号5)] /[3+(根号5)]
与
[1-(根号5)] /[1+(根号5)]

其斜率的积为：
[3-(根号5)] /[3+(根号5)] * [1-(根号5)] /[1+(根号5)]
= -1
OA和OB的斜率积为-1，证明OA和OB相垂直。

Answer 2

联立抛物线y^2=2px和直线y=x-2p 交点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)
x^2-6px+4p^2=0
x1*x2=4p^2,x1+x2=6p y1y2=x1x2-2p(x1+x2)+4p^2
x1x2+y1y2=8p^2-12p^2不等于零
有问题

Answer 3

因为直线y=x-2p与抛物线y^2=2px(p>0)相交于点A、B,所以OA ⊥OB