Question

F(x)=x(e^x-1)-ax^2 (1) 若a=1/2,求法f（x）的单调区间 (2) 若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围

Answer 1

设函数f(x)=x(e^x-1)-ax^2
若a=1/2，求f(x)的单调区间
当a=1/2时，f(x)=x*(e^x-1)-(1/2)x^2
则，f'(x)=(e^x-1)+x*e^x-x=(e^x-1)+x*(e^x-1)=(x+1)*(e^x-1)
则，当f'(x)=0时，有：x=-1，x=0
所以：
当x＜-1时，f'(x)＞0，则f(x)单调递增；
当-1＜x＜0时，f'(x)＜0，则f(x)单调递减；
当x＞0时，f'(x)＞0，则f(x)单调递增。

若当x>=0时f(x)>=0,求a的取值范围
f(x)=x*(e^x-1)-ax^2
所以，f'(x)=e^x-1+x*e^x-2ax=(x+1)e^x-2ax-1
则当x=0时，有：f'(x)=0。且f(0)=0
已知当x≥0时，f(x)≥0
所以，必须满足在x＞0时，f'(x)＞0【因为只有这样才能保证f(x)在x＞0时递增，且f(x)≥f(0)=0】
则：f''(x)=e^x+(x+1)e^x-2a=(x+2)e^x-2a在x＞0时大于等于零
所以，(0+2)*e^0-2a≥0
则，a≤1

Answer 2

(1)F(x)的导数 = (x+1)e^x - (x+1) =(x+1)(e^x-1)
当导数=0时 x=-1 或 x=0
当x<-1时 x+1 <0 e^x-1 <0
F(x)的导数大于0 此时F(x)递增
当-1<x<0时 x+1>0 e^x-1<0
F(x)的导数小于0 此时F(x)递减
当0<x时 x+1>0 e^x-1>0
F(x)的导数大于0 此时F(x)递增
(2) F(x)的导数=(x+1)e^x - (1+2ax)
F(0) = 0
若要x>=0时F(x)>=0
则F(x)要递增 F(x)的导数在x>=0时也大于0
(x+1)e^x - (1+2ax) >=0
a<=((x+1)e^x-1)/2x(此时x不等于0)
设g(x)=((x+1)e^x-1)/2x
在x>0时 g(x)有极小值3/4
所以a < 3/4