Question

已知函数f(x)=x平方＋1

已知函数f(x)=x平方＋1且g(x)=f[f(x)],G(x)=g(x)-cf(x),求是否存在实数c，使得G(x)在（负无穷大，－1〕为函数，并且在（－1，0）上为增函数

Answer 1

嵌套迭代函数首先应该表达出来！
那么
先把 g(x) 的形式具体写出来
g(x) = f[f(x)] = [f(x)]^2 + 1 = (x^2 +1)^2 + 1
= x^4 + 2x^2 + 2

G(x) = g(x)-cf(x)
= x^4 + 2x^2 + 2 - c(x^2 + 1)
= x^4 + (2-c)x^2 + 2-c

配方
G(x) = x^4 + 2*[(2-c)/2] x^2 + [(2-c)/2]^2 - [(2-c)/2]^2 + (2-c)
= [x^2 + (2-c)/2]^2 + ……
这是一个偶函数。关于y轴对称。

G(x)在（ 负无穷,-1】上为减函数，并且在（-1，0）上为增函数
根据偶函数，则 G(x) 在 [0，1]上是减函数，在 [1 ，正无穷）上是增函数。
为了保证上述两性质，则
(2-c)/2 = -1
(2-c) = -2
c = 4