Question

一道巨难的高考数学填空题求教，感激不尽

有如图（表1）所示的3行5列的数表，其中Aij表示第i行第j列的数字，这15个数字中恰有1,2,3,4,5各3个，按预定规则取出这些数字中的部分或全部，形成一个数列（Bn），规则如下：（1）先取出A11，并记B1=A11,若B1=j，则从第j列取出行号最小的数字，并记作B2，（2）以此类推，当Bk=j时，就从第j列取出现存行号最小的那个数记作Bk+1，直到无法进行就终止，例如由（表2）可以得到数列（Bn）：1,2,4,5,3,2,5,1,3,1.试问数列（Bn）的项数恰为15的概率为
表1： 表2：
A11 A12 A13 A14 A15 1 4 2 5 3
A21 A22 A23 A24 A25 2 5 1 4 1
A31 A32 A33 A34 A35 3 3 4 2 5
答案：五分之一
求教，感激不尽

Answer 1

停止的条件是取到了第三个1
原因：
按照规则，第一个取出的是A11所以第一列一开始就少一个
所以
取第一个1时 第一列就只剩1个了
取第二个1时 第一列就没有了
取到第三个1时 游戏就结束了

所以要恰好取得15个数 就必须第十五个取得的是1
这是唯一的条件

现在我增加一个游戏规则
如果游戏停止还有数剩余
则将剩余的数按第一行第二行第三行 从左到右的顺序
依次添加到已取出数列的后面（如例子中 就是1,2,4,5,3,2,5,1,3,1,4,3,4,2,5）
如此操作后得到了一个15个数字的数列
这样我们就将3*5的数表和15个数字的数列建立了一个一一对应的关系
那么满足条件的3*5的数表就是最后一个数字为1的数列

所以原题等价于
将1,2,3,4,5各3个排成一行，求最后一个数字恰为1的概率

这样
总的排列方式有 (15A15)/(3A3)^5
满足条件的排列方式有 (14A14)/[(3A3)^5*2A2]
所以 P= (14A14)/[(3A3)^5*2A2] ÷ (15A15)/(3A3)^5 =1/5

Answer 2

数列（Bn）的项数恰为15，也就是把所有的数全取完，所有列都是等概率的才能全取完（例题中的每列取完概率不同，导致第一列很快就取完了），总的5列，每列取完的概率是1/5,所以数列（Bn）的项数恰为15的概率为1/5