Question

已知 x^2-yz=y^2-xz=z^2-xy，求证 x=y=z或x+y+z=0

Answer 1

1. x²-yz=y²-xz
x²-yz-y²+xz=0
（x+y）（x-y）+z（x-y）=0
(x-y)(x+y+z)=0
∴x=y或x+y+z=0
2. x²-yz=z²-xy
x²-z²-yz+xy=0
(x+z)(x-z)+y(x-z)=0
(x-z)(x+y+z)=0
∴x=z或x+y+z=0

综上所述 x=y=z 或x+y+z=0

Answer 2

假设 x>y 则 x^2>y^2 yz<=xz 所以x^2-yz>y^2-xz 所以x>=y
同理 x<=y
所以 x=y

同理 x=z
所以x=y=z

Answer 3

证：由上可得：x(x+z)=y(y+z)=y(x+y)=z(x+z)=x(x+y)=z(z+y)
所以：可得x=y=z