Question

已知实数A，B，C满足A²+B²=1，B²+C²=2，C²+A²=2，则AB+BC+CA的最小值为

Answer 1

由A²+B²=1，
B²+C²=2，
C²+A²=2，
三式相加：2A²+2B²+2C²=5，
∴A²+B²+C²=5/2
得A²=1/2，B²=1/2，C²=3/2，
∴A=±√2/2，B=±√2/2，C=±√6/2，
设AB+BC+CA=k，2AB+2BC+2CA=2k，
∴A²+B²+C²+2AB+2BC+2CA=5/2+2k，
2k=（A+B+C)²-5/2，
k=（A+B+C)²/2-5/4
a+b+c离0最近
（a+b+c)^2 = (-√(3/2) + √2)² = 7/2 - 2√3
所以k的最小值=（7/2 - 2√3）/2 -5/4
= 1/2 - √3

Answer 2

A²+B²=1
=> (A-B)^2 + 2AB = 1
B²+C²=2
=> (B-C)^2 +2BC = 2
C²+A²=2
=> (C-A)^2 +2AC = 2

max when A=B=C
2AB =1
2BC = 2
2AC = 2
max AB+BC+CA = 1/2 + 1 + 1
= 5/2

Answer 3

由a²+b²=1，
b²+c²=2，
c²+a²=2，
三式相加：2a²+2b²+2c²=5，
∴a²+b²+c²=5/2
得a²=1/2，b²=1/2，c²=3/2，
∴a=±√2/2，b=±√2/2，c=±√6/2，
设ab+bc+ca=k，2ab+2bc+2ca=2k，
∴a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca=5/2+2k，
2k=（a+b+c）²-5/2，
k=（a+b+c)²/2-5/4
将a=√2/2，b=√2/2，c=√6/2代入：（取得最大值）
k=（√2+√6/2）²/2-5/4
=（2+3/2+2√3）/2-5/4
=（4+3+4√3-5）/4
=1/2+√3为最大值。

追问

我问的是最小值…………吧