Question

求解：高中数学试题！

设3的15a次方=5的5b次方=15的3c次方，则5ab-bc-3ac的值为？

Answer 1

先看指数
15a， 5b，3c的最小公倍数是15abc
设3^15a=5^5b=15^3c=(3*5)^3c=k^15abc
3^15a=k^15abc
lg3^15a=lgk^15abc
15alg3=15abclgk
lg3=bclgk
bc=lg3/lgk

5^5b=k^15abc
5blg5=15abclgk
lg5=3aclgk
3ac=lg5/lgk

15^3c=k^15abc
3clg15=15abclgk
lg15=5ablgk
5ab=lg15/lgk

5ab-bc-3ac
=lg15/lgk-lg3/lgk-lg5/lgk
=(lg3*5-lg3-lg5)/lgk
=(lg3+lg5-lg3-lg5)/lgk
=0 (可能我的方法复杂了）

追问

“设3^15a=5^5b=15^3c=(3*5)^3c=k^15abc”
可以这么设吗

追答

应该可以这么设

Answer 2

死算就是咯。
直接对原式求常用对数，就有：15a lg3 = 5b lg5 = 3c lg15。
再令上式=k，于是有：a = k / (15lg3), b = k / (5lg5), c = k / (3lg15).
那么，5ab-bc-3ac = 5 * k / (15lg3) * (k / (5lg5) - k / (5lg5) * k / (3lg15) - 3 * k / (15lg3) * k / (3lg15) = (k^2) / (15lg3 * lg5) - (k^2) / (15lg5 * lg15) - (k^2) / (15lg3 * lg15)
= (k^2) * (lg15 - lg3 - lg5) / (lg3 * lg5 * lg15) = (k^2) * (lg15 - lg15) / (lg3 * lg5 * lg15) = 0.