Question

在三角形ABC中，内角A、B、C对边的边长分别为 a、b、c，已知c=2,C=60度。若sinC+sin(B-A)+2sin2A,求三角形

的面积

Answer 1

1.
S三角形面积=1/2*sinC*ab=√3,
ab=4,
cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab=1/2.
a^2+b^2=8,
(a+b)^2=16,
a+b=4,ab=4,
a=2,b=2.

2.sinC+sin(B-A)=2sin2A,
2*sin[(C+B-A)/2]*cos[(C+A-B)/2]=2sin2A,
而,B+C=180-A,C+A=180-B,
则有,
sinB=2sinA,
b=2a,
而,c=2,C=60度,
cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab=1/2,
a^2+b^2=4+ab,而,b=2a,有
3a^2=4,
a=2/√3,b=4/√3.
S-三角形ABC的面积=1/2*sinC*ab=2√3/3.

Answer 2

sinC=sin(180-A-B)=sinAcosB+cosAsinB
sinC+sin(B-A)=sinAcosB+cosAsinB+sinBcosA-sinAcosB=2cosAsinB=2sin2A=4sinAcosA
即sinBcosA=2sinAcosA
(1)若cosA=0 三角形为直角三角形 解直角三角形即可得 A=π/2,B=π/6,a=4√3/3 ，b=2√3/3
S=2√3/3
(2)若cosA≠0 2sinA=sinB 据正弦定理有2a=b c2=a2+b2-2abcosC
a=2√3/3 b=4√3/3 S=absinC/2=2√3/3