Question

如何求圆外一点与圆的两条切线的的交点连线的直线方程

例：已知在椭圆 E:(x^2)/(a^2) + (y^2)/(b^2) =1(a>b>0)中,以 F1( -c,0)为圆心,a - c 为半径作圆 F1,过点 B2(0,b)作圆 F1 的两条切线,设切点分别为M,N两点.若过两点切点M,N的直线恰好经过点 B1( 0,-b ),则椭圆 E 的离心率。这是三明市质检的一道选择题
答案：圆 F1:( x + c )^2 + y^2 = (a - c)^2.
设M(x1,x2),N(x2+y2),
则切线B2M:(x1+c)(x+c)+y1y=(a - c)^2,
则切线B2N:(x2+c)(x+c)+y2y=(a - c)^2.
又两条切线过B2（0，b），所以c(x1+c)+y1b=(a-c)^2,c(x2+c)+y2b=(a-c)^2.所以c(x+c)+yb=(a-c)^2就是过MN的直线，又MN过B1（0，-b），代入化简得c^2-b^2=(a-c)^2,所以e=3^1/2-1
问题:(x1+c)(x+c)+y1y=(a - c)^2，
:(x2+c)(x+c)+y2y=(a - c)^2，没见过这么表示的麻烦解释一下。还有的我思路是：易得MN垂直于B2F1，B2F1的斜率为b/c,所以MN的斜率为-c/b,所以只需求出MN中点，再用点斜式表示MN，将B1代入即可求出关系。所以，等价于RT：如何求圆外一点与圆的两条切线的的交点连线的直线方程，这个不明。还是说有其他办法？ 除了答案，还有没其他思路。。高考应该不会考没教过的直线表示形式吧。。请指点。。。

Answer 1

方法还是存在的。假如按照你的说法，理论上也是可以计算出结果的，只是有点烦而已，当然，实际考试中肯定不会这么烦的。
提供给好学者一个我认为命题者可能想考察的方法，如下：
设B2F1与MN的交点为P，在直角三角形F1MB2中，利用射影定理，有(MF1)²=(F1P)×(F1B2)=(F1P)×a，从而F1P=[(a－c)²]/a，这里的F1P就是点(－c，0)到直线MN(过点B2的)的距离，MN的方程是：y=－(c/b)x－b，化简得：cx＋by＋b²=0，从而F1P=|－c²＋b²|/[√(b²＋c²)]=[(a－c)²]/a，即(a－c)²=|－c²＋b²|=|2c²－a²|，到这里应该可以计算离心率e的值了。

Answer 2

过圆 (x-x0)^2 + (y-y0)^2 = r^2 上点(x1, y1)的圆的切线为:
(x1 - x0)(x - x0) + (y1 - y0)(y - y0) = r^2
可以用其他办法，只要对就行。