Question

求下列微分方程的解

y'+ycosx=(1/2)sin2x

Answer 1

dy/dx+ycosx=(1/2)sin2x，令dy/dx+ycosx=0得dy/dx=-ycosx，dy/y=-cosxdx 两边积分得 lny=-sinx+C1，y=C2*e^(-sinx)，用常系数变异法，y=u(x)*e^(-sinx)代入原式化简得u'(x)*e^(-sinx)=1/2*sin2x，u'(x)=1/2*sin2x*e^sinx，u(x)=∫1/2*sin2x*e^sinxdx=∫sinxcosx*e^sinxdx=∫sinx*(e^sinx)dsinx=∫sinxd(e^sinx)=sinx*e^sinx-∫(e^sinx)dsinx=sinx*e^sinx-e^sinx+C，，把u(x)代入y=u(x)*e^(-sinx)得y=(sinx*e^sinx-e^sinx+C)*e^(-sinx)=sinx-1+C*e^(-sinx) 终于完了，想起来容易打起来难啊~