Question

求下列微分方程的解

Answer 1

求出下列微分方程的通解 1. dy/dx+2xy=4x 2. y'+ ycosx= e^(-sinx) 解：1. dy/dx+2xy=4x 先求齐次方程 dy/dx+2xy=0的通解：分离变量得：dy/y=-2xdx；积分之得：lny=-x2+lnc；故y=c/e^(x2).........① 将①中的c换成x的函数u，得 y=u/e^(x2).........② 对②取导数得：dy/dx=[u'e^(x2)-2xue^(x2)]/e^(2x2)=(u'-2xu)/e^(x2)...........③ 将②和③代入原式并化简得：u'=4xe^(x2)；故u=4∫xe^(x2)dx=2∫e^(x2)d(x2)=2e^(x2)+c；代入②式即得通解为：y=[2e^(x2)+c]/e^(x2)=2+ce^(-2x); 2. y'+ ycosx= e^(-sinx) 先求齐次方程 y'+ycosx=0的通解：分离变量得：dy/y=-cosxdx；积分之得 lny=∫(-cosx)dx=-sinx+lnc；故齐次方程的通解为：y=ce^(-sinx)..........①；将c换成x的函数u，得y=ue^(-sinx)...........②; 对②取导数得：y'=u'e^(-sinx)-ucosxe^(-sinx)............③ 将②和③代入原式并化简得：u'=1，即u=∫dx=x+c; 代入②式即得原方程的通解为：y=(x+c)e^(-sinx);

Answer 2