Question

已知如图四边形ABCD是等腰梯形,其中AD平行于BC,AD=2,BC=4,AB=DC=2,点M从点B开始,以每秒一个单位的速度向点

运动;点N从点D开始,沿D-A-B方向,以每秒1个单位的速度向点B运动,若点MN同时开始运动,其中一点到达终点,另一点也停止运动,运动时间为T(T大于0).过点N作NP垂直于BC于P，交BD于点Q，（1）点D到BC的距离为多少。 （2）求出T为何值时，QM平行于AB。 （3）设三角形BMQ的面积为S，求S与T的函数关系式。 （4）直接写出T 为何值时，三角形BMQ为直角三角形。

Answer 1

(1). 过点D作DO⊥BC交BC于O，
依题意可得CO=1，CD=2，所以DO=√3，即点D到BC的距离为√3;
(2). 当QM‖AB时，∠MBD=∠MQB=∠ADB=30°，∠QMP=60°，
因为DN=BM=QM=T，
所以NQ=DN*tan30°=√3T/3，QP=QM*sin60°=√3T/2，
因为NQ+QP=NP=DO=√3，
所以T=6/5.
(3).当点N在DA上移动时，点P向B移动的速度等于点N向A移动的速度，
因为QP/BP=tan30°=√3/3，
所以QP缩小的速度为√3T/3，即QP=√3-√3T/3，
所以S=（1/2）*BM*QP=（1/2）*T*（√3-√3T/3）=√3T/2-√3T^2/6，（0<T≤2）
当点N在AB上移动时，点P向B移动的速度等于cos60°*1=1/2，
因为QP/BP=tan30°=√3/3，
所以QP缩小的速度为（√3/3）*（1/2）*(T-2)=√3(T-2)/6，
当N在A点时，BP=1，所以QP=√3/3，
所以QP移动时的长度=√3/3-√3(T-2)/6=√3（4-T）/6，
所以S=（1/2）*BM*QP=（1/2）*T*√3（4-T）/6=√3T/3-√3T^2/12，（2<T≤4）

所以S =√3T/2-√3T^2/6，（0<T≤2）
=√3T/3-√3T^2/12，（2≤T≤4)
(4).T=3/2，或T=12/7