Question

高二数学导数 分类讨论型的

已知函数f(x)=ln(1+x^2)+ax
1）设f(x)在x=0处取得极值，求a的值
2）当a≤0时，讨论f（x）的单调性

Answer 1

（1）.首先对F（x）求导，即：y导=1/（1+x平方）+a
因为在x=0时有极值，所以：y导=0，即1+a=0 ，所以a=-1
（2）. 令y导=0，化简：ax的四次方+（1+2a）x的平方+1+a=0
求出两个跟，再根据a≤0所以再讨论两根的大小，再在两根中间取值，找出y导＞0，y导＜0，
y导=0 ，单调性不就求出来了么，会了么？

Answer 2

高二 你确定用导数？ 如果你没学过微积分 可以先去背背导数表 否则照记下来也没用
一：f(x)在x=0处取得极值 则气导数在x=0 处值应该为0 ln(1+x^2)+ax 对其求导 得
2x/(1+x^2) + a=0 把x=0 带入 的a =0
二：讨论 2x/(1+x^2)+a =0
得ax^+2x+a=0 a<0 求得x1，x2
2x/(1+x^2) + a=2/（1/x + x)+a
（1/x + x）在x<-1 x>1 单增， 在-1<x<0 0<x<1单减
2/（1/x + x）+a 在x<-1 x>1 单减， 在-1<x<0 0<x<1单增 且在x1 与 x2 处=0

具体牵扯到x1与x2的值 此时a<0
情况3 2^2-4a*a> 0 即 -1<a<0 此时x1=( -1+根号（1-a^2))/a x2 =( -1-根号（1-a^2))/a
且由于a<0 -1<0<x1<1<x2
即 2x/(1+x^2) + a 在 0<x<x1 x>x2 处小于0 在x1<x<x2处大于0
相应 原函数 在 0<x<x1 x>x2 处单减 在x1<x<x2处单增

情况1 对ax^+2x+a=0 若2^2-4a*a<0 即 a<-1
则2x/(1+x^2) + a恒<0 函数在定义域 单减（函数的导数<o则在此处单减）

情况2 a=-1 x不等于1 时，导函数<0 原函数单减 （x为拐点，此点表示斜率的变化率的正负区分点）

Answer 3

(1)f'0=2x/(1+x2)+a=0 所以a=0

(2)f'x=2x/(1+x2)+a
f'x>0 函数增，反之减 明显看出2x/(1+x2)<=1
a≤0时分情况讨论

a<=-1:f'x<0单调减
a=0:极值点 增区间(0,无穷),减区间(-无穷,0)
-1<a<0:x在( (-1+sqrt(1-a2))/a , (-1-sqrt(1-a2))/a )，为增，其他区间为减

Answer 4

求导就行